Кластерные алгебры

Будет описана элементарная конструкция построения, исходя из произвольной целочисленной кососимметрической матрицы, следующего набора объектов:
1. Пуассонова многообразия $\mathcal X$.
2. Симплектического многообразия $\mathcal A$.
3. Группы автоморфизмов этих многообразий.
4. Тропические аналоги $\mathcal X^t$ и $\mathcal A^t$ пространств $\mathcal X$ и $\mathcal A$.
5. Квантовые версии пространств $\mathcal X$ и $\mathcal A$.
Эта конструкция интересна тем, что для частных случаев дает явное координатное описание хорошо известных многообразий, таких, как пространства конфигураций флагов, пространства дискретных подгрупп вещественных расщепимых полупростых групп Ли и некоторых других пространств. Кроме того, предполагается (а во многих частных случаях доказывается), что кольцо регулярных функций на $\mathcal X$ (соответственно $\mathcal A$) имеет базис, занумерованный целочисленными точками пространства $\mathcal A^t$ (соответственно $\mathcal X$), причем структурные константы в этом базисе являются положительными целыми числами. Аналогичное утверждение справедливо также в квантовом случае, однако структурные константы становятся положительными целыми $q$-числами.
Предлагаемая конструкция имеет непосредственные приложения к теории пространств Тейхмюллера, конформным теориям поля, теории представлений, кристальным базисам Кашивары-Люстига, крейновой положительности, интегрируемым системам (гипотетически) и многим другим сюжетам.