Дискретные аналитические функции: теоремы сходимости

В ряде задач статистической физики, дискретной дифференциальной геометрии, численных методов естественным образом возникает понятие дискретной аналитической функции, принадлежащее Р. Исааксу, Ж. Ферранд, Р. Даффину и Х. Мерка. Рассмотрим граф, лежащий в комплексной плоскости и имеющий только четырехугольные грани. Функция, заданная в вершинах этого графа, называется дискретной аналитической, если для каждой грани ее разностные отношения вдоль двух диагоналей равны.
Мы доказываем, что задача Дирихле о граничных значениях для действительной части дискретной аналитической функции имеет единственное решение. В случае, когда каждая грань имеет перпендикулярные диагонали, мы доказываем, что это решение сходится к гармонической функции в непрерывном пределе. Данный результат решает проблему, поставленную С. Смирновым в 2010 году. Этот результат был доказан ранее в частном случае квадратной решетки Р. Курантом, К. Фридрихсом, Х. Леви и Л. Люстерником, а для ромбической решетки С. Смирновым, Д. Челкаком и неявно П. Сьярле, П. Равьяром.
Доказательства основаны на энергетических соображениях, подсказанных теорией цепей переменного тока. Центральное место в доказательстве занимает чисто комбинаторная оценка значений дискретной аналитической функции через ее энергию.