О минимаксных нижних границах в модели “multi-index”

В настоящем докладе в модели гауссовского белого шума рассматривается проблема непараметрических нижних границ для максимального риска в точке по анизотропному гёльдеровскому классу. Предполагается, что сигнал $ F:{\mathbb{R}^{d}} \to {\mathbb{R}} $ допускает представление в подпространстве меньшей размерности, то есть что существует набор неизвестных единичных векторов ${\theta}_1, {\theta}_2, \ldots, {\theta}_m \in {\mathbb{R}^{d}} $, задающих подпространство, и также неизвестная функция связи $ f:{\mathbb{R}^{m}} \to {\mathbb{R}} $, такие что

\begin{equation}\label{eq:multi-index} F(x)= f\big( {\theta}^{\top}_1 x, \ldots , {\theta}^{\top}_m x \big), \;x \in {\mathbb{R}^{d}}, \; m<d. \end{equation}

Будет показано, что при минимаксном оценивании по классу функций, допускающих представление \eqref{eq:multi-index}, где $f$ принадлежит (возможно анизотропному) классу Гёльдера $\mathbb{H}(\boldsymbol{\beta}, L) $, $\boldsymbol{\beta} = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m)$, $L>0$, наилучшая скорость сходимости имеет порядок
$$ L^{1/(2\gamma+1)}\big[ n^{-1}\ln(n) \big]^{\gamma/(2 \gamma+1)}, \; \gamma^{-1} = \sum_{k=1}^m \beta_k^{-1}. $$

Таким образом, наблюдается эффект снижения размерности, то есть скорость сходимости зависит от $m$, фактической размерности задачи, но сходимость будет медленнее, чем при непосредственном (без структурных предположений) оценивании функции $m$ переменных. В скорости сходимости появляется дополнительный логарифмический множитель, который можно понимать как “плату” за незнание подпространства, в котором “живёт” сигнал.