О геометрии пространств модулей поляризованных K3 поверхностей

Модули K3 поверхностей степени $2d$ — это девятнадцатимерное комплексное квази-проективное многообразие $F_{2d}$. Например, $F_4$ есть пространство гладких поверхностей степени 4 в трехмерном проективном пространстве. Современная теория модулей K3 поверхностей была заложена 35 лет назад в знаменитой совместной статье Пятетского-Шапиро и Шафаревича. Доклад посвящен решению одной из основных задач — определению геометрического типа таких многообразий. Наилучший известный результат в этом направлении принадлежит С. Мукаи, который доказал, что для небольших степеней ($d\le 19$) модули $F_{2d}$ являются унирациональными многообразиями.
В докладе будет доказано, что многообразия $F_{2d}$ имеют общий тип (т.е. их размерность Кодаиры максимальна), если степень $d$ больше 61 или равна 46, 50, 54, 58, 60. Доказано также, что $F_{2d}$ не может быть унирациональным, если $d\ge 40$. В$решении задачи используются средства из алгебраической геометрии и теории чисел, произведения Борчердса и комбинаторика систем корней решетки~$E_8$.