On the fractional [parts connecter with the function $N/x$

Проблема делителей Дирихле тесно связана с уточнением оценки остаточного члена в формуле для суммы из дробных долей
$$ \sum_{n\le N}\left\{\frac{x}{n}\right\}\,=\,cN\,+\,O\bigl(x^{\alpha+\varepsilon}\bigr). $$
При $N \le x^\beta$, где $\beta < 1$, дробные доли равномерно распределены на промежутке $[0,1)$, так что $c=\tfrac{1}{2}$. Но при $N = x$ распределение перестаёт быть равномерным, так как соответствующая константа $c$ принимает значение $1 - \gamma = 0.422784\ldots$ ($\gamma$ - постоянная Эйлера).

В докладе будут представлены асимптотические формулы сумм более общего вида
$$ \sum_{\substack{n \le x \\ n \in \mathcal{A}}} f\left(\left\{\frac{x}{n}\right\}\right), \quad \sum_{n \le x}g(n)f\left(\left\{\frac{x}{n}\right\}\right), $$
где $\mathcal{A}$ - некоторое подмножество натурального ряда, а $f$ и $g$ - вещественные функции, удовлетворяющие естественным условиям. Также будут рассмотрены некоторые приложения таких формул.