Cyclic palindromes and periodic continued fractions

Доклад основан на результатах совместной работы с И.А. Тлюстангеловым.

Со времён Лагранжа известно, что для любого рационального $r>1$, отличного от полного квадрата, справедливо следующее разложение в цепную дробь:
$$ \sqrt{r}\,=\,\bigl[a_0;\overline{a_{1},a_{2},\ldots,a_{2},a_{1},2a_{0}\mathstrut}\,\bigr]. $$
В частности, период этой цепной дроби, прочитанный задом наперёд, также является периодом. Мы называем такие периоды циклично палиндромическими и доказываем следующий критерий.


Теорема. Цепная дробь квадратичной иррациональности $\alpha$ имеет циклично палиндромический период тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений:
$(1)$ $\alpha\sim\beta:\ \beta^2\in\mathbb{Q}$;
$(2)$ $\alpha\sim\beta:\ (\beta-1/2)^2\in\mathbb{Q}$;
$(3)$ $\alpha\sim\beta:\ \beta\bar\beta=1$;
$(4)$ $\alpha\sim\beta:\ \beta\bar\beta=-1$.
Кроме того, $(2)$ равносильно $(3)$.