From Diophantine approximations to fundamental units of algebraic fields

Пусть в вещественном $n$-мерном пространстве $\mathbb{R}^{n} = \{X\}$ задано $m$ однородных вещественных форм $f_{i}(X)$, $i = 1,\ldots,m$, $2\le m\le n$. Выпуклая оболочка множества точек $G(X) = (|f_{1}(X)|,\ldots,|f_{m}(X)|)$ для целочисленных $X\in \mathbb{Z}^{n}$ во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для $\|X\|<\text{const}$ вычисляется с помощью стандартной программы. Граничные точки $G(X)$, т.е. лежащие на этой границе, соответствуют наилучшим диофантовым приближениям $X$ для указанных форм. Это дает глобальное обобщение цепной дроби. Для $n = 3$ обобщить цепную дробь пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.

Пусть $p(\xi)$ - целый неприводимый в $\mathbb{Q}$ многочлен степени $n$ и $\lambda$ - его корень. Набор основных единиц кольца $\mathbb{Z}[\lambda]$ можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена $p(\xi)$. Аналогично вычисляется набор фундаментальных единиц поля $\mathbb{Q}(\lambda)$. До сих пор эти единицы вычислялись только для $n = 2$ (с помощью обычных цепных дробей) и $n=3$ (с помощью алгоритма Вороного).

Наш подход обобщает цепную дробь, дает наилучшие совместные приближения и основные единицы алгебраических полей для любого $n$.