Аннотация:
Основная тема сообщения – изложить недавние результаты о так называемых локально антиподальных множествах Делоне в евклидовом пространстве. Пусть $X$ – множество Делоне с параметрами $r$ (радиус упаковки) и $R$ (радиус покрытия). Как известно, одна из основных целей локальной теории правильных систем состоит в отыскании для множества Делоне тех локальных условий, которые гарантируют правильность / кристаллографич-ность этого множества. Множество Делоне $X$ называется правильной системой, если его группа симметрий $G$ действует транзитивно на множестве $X$ (т. е. $X$ есть $G$-орбита одной точки). Множество Делоне $Х$ называется кристаллом, если $X$ есть $G$-орбита некоторого конечного множества. Правильная система является важным частным случаем кристалла. Приведем несколько характерных утверждений из локальной теории (Н. Долбилин, М. Штогрин):
1) На плоскости: любое множество Делоне, в котором все $4R$-кластеры (окрестности) эквивалентны, есть правильная система.
2) В пространстве любой размерности: значение $4R$ не улучшаемо: для любого $\varepsilon$ можно указать множество Делоне $X$, в котором все ($4R-\varepsilon$)- кластеры эквивалентны, но $X$ не является ни правильной системой, ни кристаллом.
3) В $3D$-пространстве: любое множество Делоне, в котором все $10R$-кластеры эквивалентны, есть правильная система.
4) В пространстве любой размерности: имеется верхняя оценка для такого радиуса что идентичность кластеров данного радиуса во множестве Делоне гарантирует его правильность.
Множество Делоне $X$ назовем локально антиподальным, если $2R$-кластер в любой точке $x$ из $X$ центрально симметричен относительно центра $x$ данного кластера. Будут обсуждаться следующие теоремы, которые верны для любой размерности.
Теорема 1.Локально антиподальное множество Делоне антиподально в целом в каждой своей точке (см. [2]).
Теорема 2.Если два локально антиподальных множества Делоне$X$и$Y$имеют общую точку$x$и общий$2R$-кластер в этой точке, то$X$и$Y$совпадают в целом (см. [2]).
Теорема 3.Локально антиподальное множество Делоне есть объединение не более$2^{d}-1$попарно конгруэнтных и параллельных решеток (см. [2]).
Теорема 4.Локально антиподальное множество Делоне с попарно эквивалентными$2R$-кластерами есть правильная система (см. [1], [2]).
Заметим, что теоремы 1 и 4 можно использовать, в частности, для более простого получения оценки $10R$, упомянутой в п. 3). Интересно сравнить теорему 4 и п. 2) о существовании неправильных множеств с попарно эквивалентными ($4R-\varepsilon$)-кластерами. Найденные примеры нерегулярных множеств с эквивалентными ($4R-\varepsilon$)-кластерами не являются локально антиподальными. Это обстоятельство согласуется с теоремой 4.
[1] Н.П. Долбилин, Критерий для кристалла и локально антиподальные множества Делоне, Труды Международной конференции “Квантовая топология”, Вестник Чел. ГУ, 3(358) (2015), 6-17.
Обратная связь: