Аннотация:
Доклад посвящён распределению вещественных алгебраических чисел и
корреляциям между сопряжёнными алгебраическими числами.
Степень$\deg(\alpha)$ и высота$H(\alpha)$ алгебраического числа
$\alpha$ определяются соответственно как степень и высота его минимального многочлена,
т.е. многочлена минимальной степени со взаимно простыми целыми коэффициентами, для которого $\alpha$
является корнем. Высота многочлена есть максимум абсолютных величин
его коэффициентов.
Пусть $B\subset\mathbb{R}^k$. Обозначим через $\Phi_k(Q,B)$ число лежащих в $B$ упорядоченных наборов из
$k$ различных вещественных сопряжённых алгебраических чисел степени $\leqslant n$ и высоты $\leqslant Q$. Асимптотика $\Phi_1(Q,B)$ при $Q\to\infty$ для произвольных $n$ ранее была найдена в [1].
Для $k\ge 2$ недавно в [2] было доказано асимптотическое равенство:
$$
\Phi_k(Q;B) = \frac{(2Q)^{n+1}}{2\zeta(n+1)} \int\limits_{B} \chi_k(\mathbf{x})
\prod_{1\leqslant i < j \leqslant k} |x_i - x_j|\,d\mathbf{x} + O\left(Q^n\right),\quad Q\to \infty,
$$
где функция $\chi_k$ непрерывна в $\mathbb{R}^k$ и может быть явно выписана,
$\zeta(\cdot)$ - дзета-функция Римана. Если $n=2$, то в остаточном члене
появляется дополнительный множитель $\log Q$.
Доклад основан на результатах [2], полученных докладчиком совместно с Ф.Гётце и Д.Н. Запорожцем.
[1] D. Koleda, On the density function of the distribution of real
algebraic numbers. Preprint, arXiv:1405.1627, 2014.
[2] F.Götze, D. Koleda, and D. Zaporozhets, Correlations between real conjugate algebraic numbers.
Чебышевский сб., 16:(4) (2015), с. 91–99.
Обратная связь: