Постоянство объёмов изгибаемых многогранников малого диаметра в неевклидовых пространствах

Гипотеза о постоянстве объёмов изгибаемых многогранников (в пространствах размерностей 3 и выше) – так называемая гипотеза о кузнечных мехах – одна из наиболее интересных задач теории изгибаемых многогранников. К настоящему времени она доказана для изгибаемых многогранников в евклидовых пространствах (И.Х. Сабитов, 1996 г., для размерности 3 и докладчик, 2012 г., для размерностей 4 и выше) и для ограниченных изгибаемых многогранников в нечётномерных пространствах Лобачевского (докладчик, 2015 г.) и опровергнута для многогранников в сферических пространствах, точнее, в открытых полусферах (В.А. Александров, 1997 г., для размерности 3 и докладчик, 2015 г., для размерностей 4 и выше). В докладе будет рассказано о последнем продвижении в этой задаче: в любом из неевклидовых пространств постоянной кривизны (сферическом пространстве или пространстве Лобачевского) гипотеза кузнечных мехов верна для изгибаемых многогранников достаточно малого диаметра. Более точно, для каждого комбинаторного типа изгибаемых многогранников существует такая константа $d>0$, что гипотеза кузнечных мехов верна для всех изгибаемых многогранников данного комбинаторного типа, имеющих диаметр меньше $d$. Отметим, что имеющиеся доказательства гипотезы о кузнечных мехах в евклидовых пространствах и пространствах Лобачевского были основаны на совершенно различных подходах, а доказательство постоянства объёма изгибаемых многогранников малого диаметра в неевклидовых пространствах основано на сращении этих двух подходов.