Дискретные группы отражений и группы Кокстера

Пусть $X$ — пространство постоянной кривизны, т.е. евклидово пространство $E^n$, сфера $S^n$ или пространство Лобачевского $L^n$. Выпуклый многогранник $P\subset X$ называется многогранником Кокстера, если все его двугранные углы имеют вид $\pi/k$, где $k$ — целое число. В этом случае группа $G$ движений пространства $X$, порожденная отражениями относительно стенок многогранника $P$, является дискретной группой движений, и многогранник $P$ является ее фундаментальной областью. Обратно, всякая дискретная группа движений пространства $X$, порожденная отражениями относительно гиперплоскостей (коротко - дискретная группа отражений), получается таким образом. Определяющие соотношения группы $G$ таковы: квадрат каждой образующей и некоторые степени произведений пар различных образующих равны единице (показатели степеней определяются соответствующими двугранными углами). Абстрактные группы, задаваемые определяющими соотношениями такого вида, называются группами Кокстера. Дискретные группы отражений в $E^n$ и $S^n$ были классификацированы Кокстером (1935). Полной классификации дискретных групп отражений в $L^n$ до сих пор не получено. Любая абстрактная группа Кокстера $G$ с $n$ образующими имеет каноническое точное $n$-мерное линейное представление, при котором образующие переходят в линейные отражения и группа $G$ дискретно действует в некоторм открытом выпуклом конусе (конусе Титса). Это решает, в частности, проблему тождества слов в группах Кокстера. Имеется также чисто алгебраическое решение этой проблемы, полученное Титсем (1966). В докладе будут приведены также некоторые результаты о более общих абстрактных группах, задаваемых периодическими попарными соотношениями