Теорема о политопальности, тесные веера и гипотеза Вороного

Веером называется полиэдральный комплекс, состоящий из конусов с общей вершиной. В теории разбиений евклидовых пространств веера удобны для исследования локальных свойств. Если рассмотреть, скажем, произвольную вершину нормального (грань-в-грань) разбиение на выпуклые многогранники, выбрать с этим центром шар малого радиуса, то пересечение шара с разбиением будет (локально) некоторым многогранным веером.
Важным вопросом в теории разбиений является возможность "подъёма" этого разбиения до, так называемой, женератрисы - полиэдральной поверхности, лежащей в расширенном пространстве, проекция которой в точности совпадает с разбиением. Известно несколько критериев существования женератрисы разбиения (Ч. Дэвис, Ф. Ауренхаммер, П. МкМаллен, С.С. Рышков и К.А. Рыбников мл., А. Ордин). Одним из наиболее практичных оказался подход с так называемыми каноническими нормировками разбиений. Верна теорема: женератриса существует тогда и только тогда, когда существует каноническая нормировка данного разбиения.
Доказана теорема, что локальная нормировка разбиения, то есть нормирока веера схождений в грани, существует тогда и только тогда, когда он является веером граней для некоторого многогранника (политопальный веер/polytopical fan).
Для применения этой теории к теории Вороного и к исследованиям разбиений на т.н. параллелоэдры, строится специальное семейство тесных вееров (определённых независимо от теории параллелоэдров). Удалось пострить классификацию таких вееров в малых размерностях (2 и 3), упростить многие доказательства в теории Вороного, а также наметить новые направления исследований (в которых на протяжении десятилетий не было существенных продвижений).