Аннотация:
Пусть $S$ — единичная сфера в $n$-мерном евклидовом пространстве, $X$ — конечное подмножество $S$. Для произвольной вещественной функции $f$ рассмотрим $f$-энергию $X$ $$
X(f)=\sum f(|x-y|^2),
$$
где суммирование ведется по всем различным парам $x$, $y$ из $X$, $|x-y|$ — расстояние между $x$ и $y$.
$X$ называется $f$-оптимальной конфигурацией, если $X(f)$ минимальна среди всех подмножеств с заданной мощностию. Для общих $f$ мало что можно сказать об оптимальных конфигурациях, так как соответствующая квантовомеханическая задача не интегрируема.
Однако существуют очень специальные конфигурации $X$, которые оптимальны для любых монотонно убывающих потенциалов. Это универсально оптимальные конфигурации, которые и являются целью доклада. Они носят арифметический характер и связаны с интересными евклидовыми решетками, такими как $E_8$, $E_7^*$, решетка Лича и др.
Имеется интересная связь с классической теорией Вороного.
Обратная связь: