Диаграммы Юнга, ортогональные полиномы и случайные матрицы. Лекция 1

Диаграммы Юнга дают естественный способ параметризовать разбиение натурального числа в сумму невозрастающих слагаемых.
Рассмотрим разбиение натурального числа в сумму невозрастающих слагаемых, например
10 = 3+2+2+1+1+1.
Такому разбиению сопоставляется его Диаграмма Юнга (см. fig01.png).
Вопросом о количестве диаграмм Юнга с данным числом клеток занимался еще Эйлер. Первой целью нашего курса будет выяснить – как выглядят «большие» диаграмма Юнга. Оказывается, диаграммы Юнга имеют так называемую предельную форму – при увеличении числа клеток контур большинства диаграмм стремится к кривой, изображенной на рисунке (см. fig02.png).
Эту замечательную теорему доказали в 1977 г. Вершик и Керов в СССР и Логан и Шепп в США. Мы начнем курс с разбора основных идей доказательства этой теоремы. Доказательство вполне элементарно, и для понимания первой части не требуется никаких предварительных знаний.
Диаграммы Юнга служат простой моделью для описания так называемых случайных матриц. Рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные значения таких матриц? Оказывается, распределение этих собственных значений тоже имеет предельную форму – это знаменитый полукруговой закон Вигнера. Нашей второй целью будет разобрать, на физическом уровне строгости, формулировку полукругового закона Вигнера.
Одним из основных средств при изучении как диаграмм Юнга, так и случайных матриц, являются ортогональные полиномы. Мы завершим курс рассмотрением главных семейств классических ортогональных полиномов на отрезке и на прямой. Для понимания последней части курса желательно уметь интегрировать элементарные функции в объеме программы средней школы.