Минимальные геометрически рациональные поверхности над конечными полями и их дзета-функции

Пусть $S$ — геометрически рациональная поверхность над конечным полем. Применяя к $S$ программу минимальных моделей, мы можем получить минимальную поверхность $X$, либо являющуюся поверхностью дель Пеццо, либо допускающую структуру расслоения на коники. При этом группа Галуа замыкания поля будет действовать на группе Пикара $Pic(\overline{X})$, причём инвариантное число Пикара будет равно $1$ для поверхностей дель Пеццо и $2$ для поверхностей, допускающих структуру расслоения на коники. Для каждого такого действия группы Галуа мы хотим явно показать, что соответствующая минимальная поверхность существует. При этом по способу действия группы Галуа восстанавливается дзета функция поверхности, которая характеризует количество точек поверхности, определённых над полем и его расширениями. В начале доклада мы, следуя работе Сергея Рыбакова "Zeta functions of conic bundles and del Pezzo surfaces of degree $4$ over finite fields", покажем, как построить минимальное расслоение на коники для заданного количества вырожденных слоёв и действия на них группы Галуа. Далее мы обсудим, как с помощью этих результатов строить минимальные поверхности дель Пеццо степени $4$. После этого, используя стандартные идеи, мы построим минимальные поверхности дель Пеццо степени $8$, $6$ и $5$, затем обсудим кубические поверхности, после чего построим минимальные поверхности дель Пеццо степени $2$. Наконец, мы обсудим, какие из предложенных методов работают для поверхностей дель Пеццо степени $1$, и что можно получить при помощи этих методов.