Бифуркационный анализ задачи о движении цилиндра и точечного вихря в идеальной жидкости

Движение твёрдого тела в идеальной жидкости в присутствии вихревых структур является одной из фундаментальных проблем современной гидродинамики. Одними из первых работ, посвящённых динамике вихрей, были исследования Кирхгофа [1], Гельмгольца [2] и Рауса [3]. Обзор современных достижений в этом направлении можно найти, например, в [4].
В настоящем сообщении рассматривается задача о движении в идеальной жидкости бесконечного кругового цилиндра и параллельной его образующей вихревой нити.
Дополнительные первые интегралы для этой задачи были указаны в [5]. Набор первых интегралов рассматриваемой гамильтоновой системы не является инволютивным. Система удовлетворяет условию некоммутативной интегрируемости [6]. Теория некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем в случае, когда интегралы образуют подалгебру, была развита школой А. Т. Фоменко. Обзор результатов можно найти в [7].
В рассматриваемой интегрируемой задаче набор интегралов не замкнут. Используя теоремы Нехорошева [8] и Козлова [9], можно утверждать, что компактная связная компонента интегрального многообразия диффеоморфна тору.
Основным результатом данной работы является получение инвариантного подмногообразия, которое представляет собой критическую подсистему отображения момента. В докладе будет также построена бифуркационная диаграмма и бифуркационный комплекс рассматриваемой интегрируемой системы. Отметим, что критические подсистемы играют важную роль при описании структуры критического множества и определении типа особенностей отображения момента в интегрируемых гамильтоновых системах с двумя и тремя степенями свободы [10, 11, 12].
Список литературы
[1] Kirchhoff G. R. Vorlesungen uber Mathematische Physik. Teubner, Leipzig, I, 1876.
[2] Helmholtz H. ·· Uber Integrale hydrodinamischen Gleichungen weicheden Wirbelbewegungen entsprechen, J. Rein. Angew. Math., 55, 1858, p. 25–55.
[3] Routh E. J. Some application of conjugate function, Proc. Lond. Math. Soc., 12, No. 170, 171, 1881, p. 73–89.
[4] Борисов А. В., Мамаев И. С. Соколовский М. А. (ред.) Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск: Институт компьтерных исследований, 2003.
[5] Borisov A. V., Mamaev I. S. An integrability of the problem on motion of cylinder and vortex in the ideal fluid, Reg. & Chaot. Dyn., 8, 2, 2003, p. 163–166.
[6] Картан Э. Интегральные инварианты. М.-Л.: Гостехиздат, 1940.
[7] Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 413 c.
[8] Нехорошев Н. Н. Переменные действие-угол и их обобщения, Труды Моск. мат. об-ва, 26, 1972, с. 181–198.
[9] Козлов В. В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд. УдГУ, 1995.
[10] Ryabov P. E., Kharlamov M. P. Classification of singularities in the problem of motion of the Kovalevskaya top in a double force field, Sbornik: Mathematics, 203, 2, 2012, p. 257–287.
[11] Ryabov P. E. New invariant relations for the generalized two-field gyrostat, Journal of Geometry and Physics, 87, 2015, p. 415–421.
[12] Kharlamov M. P., Ryabov P. E., Savushkin A. Y. Topological atlas of the Kowalevski – Sokolov top, Regular and Chaotic Dynamics, 2015 (in Press).