Гомотопический тип и гомологии пространств петель некоторых момент-угол-комплексов

В работе рассматривается задача вычисления алгебры Понтрягина (гомологий петель) момент-угол-комплексов и многообразий. Момент-угол-комплекс $\mathcal Z_\mathcal{K}$ представляет собой пространство с действием тора, сопоставляемое симплициальному комплексу $\mathcal K$. Момент-угол-комплексы $\mathcal Z_\mathcal{K}$ играют важную роль в торической топологии. В случае, когда $\mathcal K$ — триангуляция сферы, $\mathcal Z_\mathcal{K}$ представляет собой топологическое многообразие, которое обладает важными и интересными геометрическими структурами.
Образующие алгебры $H_*(\varOmega \mathcal Z_\mathcal{K})$ в случае, когда $\mathcal K$ — флаговый комплекс, были описаны в работе Homotopy types of moment-angle complexes for flag complexes, Grbic, Panov, Theriault, Wu. Тем самым вопрос заключается в описании соотношений. В данной работе мы описываем эти соотношения в случае, когда $\mathcal K$ — граница пятиугольника или шестиугольника. В этом случае известно, что $\mathcal Z_\mathcal{K}$ представляет собой связную сумму произведений сфер, по две сферы в каждом произведении (см. Макгавран, Adjacent connected sums and torus actions). Таким образом в алгебре $H_*(\varOmega \mathcal Z_\mathcal{K})$ имеется всего одно соотношение, которое мы и находим. Тем самым мы получаем новое доказательсво результата Макгаврана. Интересной особенностью полученных нами соотношений в алгебре Понтрягина является то, что они включают итерированные произведения Уайтхеда, образы которых при гомоморфизме Гуревича нулевые. Поэтому данные соотношения нельзя получить опираясь исключительно на результат Макгаврана.