Асимптотическое поведение спектра вигнеровских случайных матриц

Пусть случайные величины $X_{jk}$ для $1\le j\le k$ независимы и имеют нулевоке среднее и единичную дисперсию. Мы рассмотрим последовательность симметричных матриц $\mathbf W=\frac1{\sqrt n}(W_{jk})_{j,k=1}^n$, где $W_{jk}=W_{kj}=X_{jk}$ для $1\le j\le k\le n$. Обозначим $\lambda_1\le\cdots\le \lambda_n$ упорядоченные по возрастанию собственные числа матрицы $\mathbf W$, а $\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_n$ - соответствующие собственные векторы. Определим также спектральную функцию распределения матрицы $\mathbf W$ равенством
\begin{equation} \mathcal F_n(x)=\frac1n\#\{j:1\le j\le n, \lambda_j<x\}. \end{equation}
Нас будут интересовать как скорость сходимости спектральной функции распределения матрицы $\mathbf W$ к функции распределения полукругового закона в метрике Колмогорова, так и оценка локализации собственных чисел (отклонение $\lambda_j$ от квантиля полукругового закона порядка $\frac jn$ ), и проблема делокализации собственных векторов (оценка максимального значения модуля координат векторов $\mathbf u_j, j=1,\ldots,n$). Будут изложены результаты, полученные недавно совместно с Ф. Гётце (F. Götze) и А. Наумовым и опубликованные в работах [GNT:2015] и [GNT:2015a].
[GNT:2015] Götze, F.; Naumov A.; Tikhomirov, A. N. Local semicircle law under moment conditions. Part I: The Stieltjes transform. ArXiv:1510.07350
[GNT:2015a] Götze, F.; Naumov A.; Tikhomirov, A. N. Local semicircle law under moment conditions. Part II: Localization and delocalization. ArXiv:1511.00862