Резонансы Штарка-Ванье и кубические экспоненциальные суммы (по совместной работе с Фредериком Клоппом)

Речь пойдет об операторе Шредингера
$$H=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+v(x) -\lambda x$$
в $L^2({\mathbb R})$. Здесь $v$ – 1-периодичская функция, а $\lambda$ – положительная постоянная. Оператор служит моделью для описания блоховского электрона в кристалле, помещенном в постоянное электрическое поле, величина которого пропорциональна $\lambda$. Спектр этого оператора абсолютно непрерывен и заполняет всю ось. Оператор привлек значительное внимание как физиков, так и математиков в связи с открытием лестниц Штарка-Ванье: оказалось, что резонансы этого оператора – полюса аналитического продолжения его резольвенты через спектр – образуют периодические цепочки, параллельные вещественной оси. Оказалось, что цепочки резонансов нетривиально “взаимодействуют” при изменении величины электрического поля, т.е. $\lambda$, и физики высказали гипотезу, что поведение резонансов связано с арифметическими свойствами $\lambda$. Мы показываем, что асимптотики цепочек с большими номерами описываются в терминах кубических экспоненциальных сумм родственных кубическим суммам из теории чисел. В случае, когда отношение $\pi^2/3\lambda$ рационально, мы получаем для лестниц Штарка-Ваннье явные асимптотические формулы.