Аннотация:
Пространства модулей некоторых классов алгебраических многообразий естественным образом аналитически изоморфны плотным открытым подмножествам факторпространств симметрических областей (эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа) по арифметическим дискретным группам их голоморфных преобразований. Классический пример: пространство модулей гладких плоских кубических кривых изоморфно факторпространству верхней полуплоскости по модулярной группе Клейна . Это находит свое выражение в том, что (градуированная) алгебра модулярных форм Клейна изоморфна алгебре инвариантов кубической формы от трех переменных (относительно группы ), которая, как известно, свободно порождается однородными многочленами степеней 4 и 6. Пространство модулей кубических кривых есть (проколотый) проективный спектр этой алгебры. В этом и всех подобных примерах изоморфизм осуществляется с помощью отображения периодов – интегрирования голоморфных внешних дифференциальных форм старшей степени по циклам половинной размерности. Утверждение о том, что отображение периодов является изоморфизмом аналитических пространств, называется теоремой Торелли для данного класса алгебраических многообразий. Пользуясь интерпретацией пространства модулей алгебраических кривых рода 2 как факторпространства "верхней полуплоскости Зигеля" (трехмерной симметрической области типа III) по группе, Игуса в 1962 г. доказал, что алгебра четных автоморфных форм на относительно группы свободно порождается формами степеней 4,6,10,12. Наибольший интерес с точки зрения связи между алгебраической теорией инвариантов и теорией автоморфных форм представляют алгебраические поверхности типа , типичными представителями которых являются квартики, имеющие не более чем простые особенности. Теорема Торелли для поверхностей типа была доказана в работе И.И. Пятецкого-Шапиро и И.Р. Шафаревича (1971). Из нее следует, что пространства модулей алгебраических поверхностей типа могут быть описаны в терминах арифметических факторов симметрических областей типа IV – симметрических пространств . В частности, пространство модулей квартик с простыми особенностями изоморфно плотному открытому подмножеству арифметического факторпространства 19-мерной симметрической области типа IV. В алгебраических терминах это означает, что алгебра инвариантов формы четвертой степени от 4 переменных изоморфна некоторой локализации соответствующей алгебры автоморфных форм на области . Эти алгебры, однако, устроены неимоверно сложно, и из факта их изоморфизма трудно извлечь какую-либо полезную информацию. Оказывается разумным рассматривать мультиполяризованные квартики – квартики, в решетке алгебраических циклов которых выделена подрешетка какого-либо указанного типа, содержащая класс плоского сечения. Пространства модулей мультиполяризованных квартик определенных типов можно интерпретировать как арифметические факторпространства областей . Таким способом докладчику удалось доказать, что алгебры автоморфных форм на областях , относительно групп свободны, и найти степени их образующих [1]. (Например, при эти степени равны 4,6,8,10,12,14,16,18.) Из свободности алгебры автоморфных форм следует, что при указанных значениях группа порождается (комплексными) отражениями. Более точно, она порождается отражениями не только как группа преобразований области , но и как группа преобразований естественного -расслоения над , голоморфными функциями на котором являются автоморфные формы. Заметим, что из всех симметрических областей только комплексные шары и области типа IV обладают комплексными отражениями. Упомянутая выше верхняя полуплоскость Зигеля рода 2 может также рассматриваться как симметрическая область типа IV. Используя этот изоморфизм, докладчик повторил результат Игусы описанным выше методом [2].
[1] E.B. Vinberg. Some free algebras of automorphic forms on symmetric domains of type IV. Transformation Groups, 2010, 15, no. 3, 701-741.
[2] Э.Б. Винберг. Об алгебре модулярных форм Зигеля рода 2. Тpуды ММО, 2013, 74, вып.1, 2-17.
Обратная связь: