Произведение Бляшке для гильбертова пространства с ядром Шварца-Пика

Пусть X – множество, H – гильбертово пространство, элементами которого являются функции на X. На множестве X определим метрику d(a,b). Расстоянием от точки a до точки b является синус угла между соответствующими воспроизводящими ядрами. Легко получить следующий аналог неравенства Шварца-Пика. Если мультипликатор пространства H с единичной нормой обращается в ноль в точке b, то абсолютная величина его значения в точке a не превосходит расстояния d(a,b). Если для любых различных точек a и b множества X существует мультипликатор, для которого достигается значение d(a,b), то говорят, что пространство H обладает ядром Шварца-Пика. Обозначим этот экстремальный мультипликатор f(a,b,z), его естественно считать аналогом классического фактора Бляшке.
В докладе будет построен пример пространства аналитических функций в единичном круге с ядром Неванлинны-Пика (это более сильное требование, чем ядро Шварца-Пика), в котором для любого натурального n найдётся мультипликатор f(a,b,z) с n нулями круге; пример пространства аналитических функций в единичном шаре с ядром Неванлинны-Пика, в котором существует мультипликатор f(a,b,z), обращающийся в ноль на гиперплоскости.
Будет доказано, что если последовательность точек удовлетворяет условию Бляшке, то соответствующее произведение сходится равномерно на компактах к мультипликатору пространства H. В частности, это означает, что на фиксированном компакте лишь конечное число факторов Бляшке может обращаться в ноль. Будет доказано, что частичные произведения Бляшке, умноженные на соответствующее воспроизводящее ядро, сходятся по норме гильбертова пространства H.