Мульти-многогранники и многочлены объема

Одним из серьезных достижений алгебраической комбинаторики является $g$-теорема. Она характеризует все наборы целых чисел $(f_0,f_1,...,f_n)$, для которых существует выпуклый простой $n$-мерный многогранник, имеющий ровно $f_k$ граней размерности $(n-k)$. Вместо $f$-вектора $(f_0,f_1,...,f_n)$ удобно рассматривать $h$-вектор $(h_0,...,h_n)$ (он получается из $f$-вектора линейным преобразованием и несет ту же информацию о комбинаторике многогранника). В частности $g$-теорема утверждает, что $h$-вектор простого выпуклого многогранника неотрицателен, симметричен и унимодален, т.е. $h_k=h_{n-k}>0$ и $h_0\leqslant h_1\leqslant...\leqslant h_{\lfloor n/2\rfloor}$.
Все известные доказательства используют следующую идею: строится алгебра Пуанкаре, градуированные компоненты которой имеют размерности $h_k$, и доказывается что в этой алгебре существует элемент Лефшеца. Эта алгебра называется алгеброй многогранника. В самом первом доказательстве, предложенном Стенли, в качестве алгебры многогранника берется алгебра когомологий проективного торического многообразия, соответствующего данному многограннику, а в качестве элемента Лефшеца выступает класс кэлеровой формы. Существуют и другие, более элементарные способы построить алгебру многогранника и элемент Лефшеца. Пожалуй, самая элегантная конструкция была предложена Тимориным. Она использует два ингредиента: многочлен объема и т.н. двойственность Маколея.
Первая часть доклада будет посвящена обзору конструкции Тиморина для вееров и многогранников. Во второй части я расскажу о мульти-веерах и мульти-многогранниках. В совместной работе с Масудой мы применили конструкцию Тиморина к мульти-многогранникам и получили ряд интересных приложений. Оказалось, например, что аналог $g$-теоремы для мульти-многогранников не верен.
Все конструкции достаточно элементарны, поэтому для понимания доклада никаких специальных знаний от слушателей не потребуется.