Новое доказательство теоремы Полторацкого о лакуне в спектре

Плотность Берлинга–Мальявена была введена в начале 60-х годов для решения знаменитой задачи о полноте системы экспонент
$$ E_\Lambda:=\{e^{i\lambda t}\}_{\lambda\in\Lambda}, \quad \Lambda\subset\mathbb{R} $$
в пространстве $L^2(-a,a)$.
Оказывается, что плотность Берлинга–Мальявена $D^{\mathrm{BM}}(\Lambda)$ равна радиусу полноты системы $E_\Lambda$
$$ R(\Lambda)=\sup\{a: E_\Lambda\quad\text{полна}\quad L^2(-\pi a, \pi a)\}. $$
Тем не менее, ее аналог, нижняя плотность Берлинга–Мальявена $D_{\text{BM}}(\Lambda)$, появилась в литературе только несколько лет назад. А. Полторацкий и М. Митковский установили, что $D_{\text{BM}}(\Lambda)$ отвечает за гэп-характеристику множества $\Lambda$ (максимальный размер лакуны в спектре меры, сосредоточенной на $\Lambda$) в том случае, когда $\Lambda$ удовлетворяет условию разделенности $\inf_{\lambda',\lambda''\in\Lambda,\lambda'\neq\lambda''}|\lambda'-\lambda''|>0$.
Доказательство Митковского и Полторацкого основано на теории операторов Теплица. Недавно было установлено, что можно непосредственно установить эквивалентность теоремы о лакуне в спектре и теоремы Берлинга–Мальявена для разделенных последовательностей. Это дает новое доказательство теоремы о лакуне.
Доклад основан на совместной работе с А. Барановым и А. Улановским.