Общие накрытия плоскости

Как известно, для неособой проективной поверхности $S$, вложенной в проективное пространство $\mathbb{CP}^r$, ограничение $f$ на $S$ линейной проекции $\operatorname{pr}\colon\mathbb{CP}^r\to\mathbb{CP}^2$, общей по отношению к $S$, обладает следующими свойствами:
1) $f$ является конечным морфизмом степени $d=\deg S$;
2) дискриминантная кривая (кривая ветвления) $B\subset\mathbb{CP}^2$ является неприводимой каспидальной кривой;
3) для общей точки $p\in B$ число прообразов $\#f^{-1}(p)=d-1$.
Общее накрытие проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$, являющееся естественным обобщением понятия общей линейной проекции, – это морфизм $f\colon S\to\mathbb{CP}^2$ неособой поверхности $S$, для которой выполнены свойства 1)–3).
Гипотеза Кизини (Chisini) утверждает, что общее накрытие $f\colon S\to\mathbb{CP}^2$ степени $\deg f\ge5$ однозначно определяется своей дискриминантной кривой.
В первой части доклада дан набросок доказательства гипотезы Кизини (а также ее некоторого обобщения) для почти всех общих накрытий плоскости. Вторая часть доклада посвящена обсуждению возможности использования брэйд-монодромных инвариантов дискриминантной кривой общего накрытия $f\colon S\to\mathbb{CP}^2$ в качестве полного набора дискретных инвариантов, определяющих симплектическую структуру на подлежащем четырехмерном вещественном многообразии $S_R$.