Семинары
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Календарь
Поиск
Регистрация семинара

RSS
Ближайшие семинары




Дискретная и вычислительная геометрия
29 сентября 2015 г. 13:55, г. Москва, ИППИ РАН, Большой Каретный переулок, 19, ауд. 307
 


Контрпримеры к топологической гипотезе Тверберга

А. Б. Скопенков

Количество просмотров:
Эта страница:231

Аннотация: Теорема Радона утверждает:
любые $d+2$ точки в $\mathbb R^d$ можно разбить на два множества, выпуклые оболочки которых пересекаются.
Её и теорему Борсука–Улама обобщает теорема Тверберга:
любые $(d+1)(r-1)+1$ точки в $\mathbb R^d$ можно разбить на $r$ множеств, выпуклые оболочки которых имеют общую точку.
Топологическая гипотеза Тверберга. Для любых целых $r,d>0$ и непрерывного отображения $(d+1)(r-1)$-мерного симплекса в $\mathbb R^d$ существуют $r$ попарно непересекающиеся граней симплекса, образы которых имеют общую точку.
Эта гипотеза доказана в случае, когда $r$ — степень простого. В докладе будет рассказано о контрпримерах для других $r$, полученных в 2015 году (работы Аввакумова, Вагнера, Мабийяра, Озайдына, Фрика и докладчика). Они основаны на следующих результатах.
Отображение $f:K\to\mathbb R^m$ комплекса $K$ называется $r$-почти вложением, если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов не имеют общей точки.
Отображение $f:K\to\mathbb R^{kr}$ комплекса $K$ размерности $k(r-1)$ называется $r$-почти $\mathbb Z$-вложением, если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов пересекаются в нулевом числе точек с учётом знака (для некоторых ориентаций на этих симплексах).
Теорема. Пусть $r$ не степень простого. Тогда $k(r-1)$-мерный остов $(kr+1)(r-1)$-мерного симплекса $r$-почти $\mathbb Z$-вложим в $\mathbb R^{kr}$. (Озайдын)
Теорема. (a) Если $3(r-1)$-мерный комплекс $r$-почти $\mathbb Z$-вложим в $\mathbb R^{3r}$, то он $r$-почти вложим в $\mathbb R^{3r}$. (Мабийяр–Вагнер, 2015)
(b) Если $r\ge3$ и $2(r-1)$-мерный комплекс $r$-почти $\mathbb Z$-вложим в $\mathbb R^{2r}$, то он $r$-почти вложим в $\mathbb R^{2r}$. (Аввакумов–Мабийяр–Вагнер–Скопенков, 2015)
Доказательство этих теорем основано на обобщении метода устранения самопересечений (трюка Уитни) для точек кратности $r$ и для коразмерности 2. Будет рассказано также о приложении этого обобщения к классификации орнаментов и каракулей (работы Аввакумова, Вагнера, Мабийяра, Мелихова и докладчика).
 
  Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024