Доказательство Мирзахани гипотезы Виттена

Гипотеза Виттена (1991) утверждает эквивалентность двух моделей двумерной квантовой гравитации. С математической точки зрения, она означает, что производящая функция для индексов пересечений характеристических классов некоторых специальных линейных расслоений над пространствами модулей комплексных кривых с отмеченными точками является решением уравнения Кортевега–де Фриза (или, эквивалентно, всей иерархии уравнений КдФ). Уравнение КдФ можно понимать как рекуррентное соотношение на индексы пересечения. Известные к настоящему времени доказательства этой гипотезы используют либо гиперболическую геометрию двумерных поверхностей и их пространств модулей, либо являются чисто алгебро-геометрическими (как и предусматривает формулировка гипотезы).
Доказательство М. Мирзахани содержится в двух работах 2007 года, составляющих ее диссертацию, и опирается на гиперболическую геометрию. Оно состоит из двух основных частей. Первая часть представляет собой формулу для объема Вейля–Петерссона пространства модулей $\overline{\mathcal{M}}_g(L_1,\dots,L_n)$$; это пространство гиперболических метрик постоянной отрицательной кривизны $−1$ на двумерных поверхностях рода $g$ с $n$ геодезическими границами длин $L_1,\dots,L_n$ соответственно. Формула Мирзахани дает выражение для объема через индексы пересечений на пространствах модулей стабильных комплексных алгебраических кривых рода $g$ с $n$ отмеченными точками $\overline{\mathcal{M}}_{g;n}$. Получающаяся формула имеет вид многочлена от переменных $L^2_1,\dots,L^2_n$, причем коэффициент при старшем члене этого многочлена —индекс пересечения, входящий в гипотезу Виттена.
Вторая часть доказательства это рекуррентное соотношение на объемы. По своей природе оно является соотношением топологической рекурсии, получаемой как результат вырезания пар штанов из поверхности. Это соотношение – далекое обобщение формулы Г. Макшейна для суммы по простым замкнутым геодезическим на данной поверхности некоторых явных выражений от их длин. Для старшего коэффициента многочлена объема соотношение топологической рекурсии оказывается эквивалентным рекуррентному соотношению КдФ.