О некоторых свойствах локального времени

Пусть $X = (X_t)_{t\ge0}$ — одномерная регулярная диффузия на промежутке $I \subset \mathbb{R}$, а $\mathcal{G}$ — производящий оператор $X$. Для $\alpha>0$ определим функции $\psi_{\alpha}$ и $\phi_{\alpha}$ как единственные (с точностью до множителя) непрерывные решения обобщенного дифференциального уравнения
$$ \mathcal{G}u=\alpha u, $$
при этом $\psi_\alpha$ является возрастающим решением, а $\varphi_\alpha$ — убывающим. Введем следующие обозначения:
$$ w_{\alpha}(x)=\psi_{\alpha}'(x)\phi_{\alpha}(x)-\psi_{\alpha}(x)\phi_{\alpha}'(x), \quad \rho_{\alpha}(x,y)=\psi_{\alpha}(x)\phi_{\alpha}(y)-\psi_{\alpha}(y)\phi_{\alpha}(x). $$
Рассмотрим локальное время диффузии $X$ на уровне $x$ $L(t,x)$. В настоящей работе производится исследование свойств локального времени в момент выхода из интервала $(a,b)\subset I$
$$ \tau_{ab}=\inf\{t\ge 0:X_t\notin(a,b)\}. $$

Теорема. Для $\alpha>0$, $\beta>0$ и $a\le x\le b$
$$ \mathsf E_x e^{-\alpha\tau_{ab}-\beta L(\tau_{ab},x)}=\frac{\rho_{\alpha}(a,x)+\rho_{\alpha}(x,b)}{\rho_{\alpha}(a,b)-\frac{2\beta}{w_{\alpha}(x)}\rho_{\alpha}(a,x)\rho_{\alpha}(x,b)}. $$