Геометрическая природа квантовых кластерных алгебр

Отправной точкой конструкции является геометрическая картина слияния двух дырок (или сторон одной дырки) на римановой поверхности в униформизации Пуанкаре. В пределе возникают граничные каспоидальные особенности, а ламинации, состоящие до предельного перехода из замкнутых кривых, после взятия предела содержат как замкнутые кривые6 так и арки – геодезические начинающиеся и заканчивающиеся в декорированных граничных каспах. Экспоненты от половинных длин таких арок соответствуют лямбда-длинам, или кластерным переменным. Они явно задаются в терминах специальных координат сдвига (shear coordinates) предельной теории. Будет дано явное комбинаторное представление для таких лямбда длин и будет показано, как в пределе соотношение скейна для исходных геодезических переходит в соотношение Птолемея для лямбда длин. Если имеется хотя бы один граничный касп, то для поверхности произвольного рода с произвольным числом дырок имеется явное 1-1 соответствие между координатами сдвигов и арками (кластерными переменными); индуцированные пуассоновы и квантовые соотношения для арок из одной ламинации (одного зернв (seed) в кластерной терминологии) оказываются в точности квантовыми кластерными алгебрами Беренштейна и Зелевинского. Попутно удается решить проблему квантового упорядочения для квантовых лямбда длин.