Задача Какейя и ее приложения

Задача Какейя состоит в нахождении плоской фигуры наименьшей площади, внутри которой единичный отрезок может непрерывно развернуться на 180 градусов. Неожиданное решение этой задачи было дано А. Безиковичем (площадь фигуры может быть сделана сколь угодно малой), но на этом история не кончается. Эта задача, вместе со своими обобщениями, оказалась тесно связанной с различными областями математики и нашла неожиданные приложения, в частности, в гармоническом анализе и в ньютоновской аэродинамике. Над ней работали три (ныне) филдсовских медалиста. Основная нерешенная задача в данной области ныне выглядит так: найти множество наименьшей размерности в $R^n$, содержащее единичный отрезок в любом направлении. (Эта задача решена только в $R^2$) Будет дан обзор истории задачи Какейя, с 1917 г. и до наших дней, с доказательством некоторых ключевых результатов.