Аннотация:
Параллельный перенос, поворот, поворотная гомотетия, композиция инверсии и
осевой симметрии – частные случаи дробно-линейных отображений комплексной
плоскости (в общем случае дробно-линейное отображение плоскости – это
отображение, при котором точка $z=x+iy$ переходит в точку $\frac{az+b}{cz+d}$).
Как известно, инверсия выворачивает круг наизнанку: то, что было внутри,
оказывается снаружи, и наоборот.
Говорят, что набор дробно-линейных отображений $f_1,\dots,f_g$ порождает группу Шоттки,
если есть набор замкнутых жордановых кривых $\gamma_1,\dots,\gamma_g$, таких что:
Области, ограниченные кривыми $\gamma_j$, не пересекаются.
Под действием отображения $f_j$ точки внутри $\gamma_{2j-1}$ оказываются
снаружи $\gamma_{2j}$, а точки снаружи $\gamma_{2j-1}$ – внутри $\gamma_{2j}$.
Группа, порождённая отображениями $f_j$ – это множество всевозможных
композиций отображений $f_j$ и обратных к ним. Оказывается, в группе Шоттки
длинные композиции ведут себя так: бо́льшую часть плоскости переводят внутрь
очень маленькой области.
Кривые $\gamma_j$ (окружности) и их образы под действием отображений из группы Шоттки, $g=2$
В курсе мы расскажем, как группа Шоттки связана с:
канторовским множеством;
сферой с $g$ ручками с комплексной структурой;
трёхмерным пространством Лобачевского.
Кроме того, мы расскажем ответы на следующие вопросы:
всегда ли в качестве $\gamma_j$ можно взять окружности?
бывает ли так, что при одном выборе образующих получается взять в качестве
$\gamma_j$ окружности, а при другом нет?
Предполагается, что слушатели умеют выполнять арифметические действия с комплексными числами. Курс будет понятен школьникам.
Обратная связь: