Аннотация:
Пусть задан треугольник, вершины которого помечены цифрами $0$, $1$ и $2$, и его триангуляция. Знаменитая лемма Шпернера в двумерном случае утверждает, что если вершины триангуляции пометили теми же значениями $(0, 1, 2)$ так, чтобы любая вершина на стороне исходного треугольника была бы помечена одной из меток вершин этой стороны, то обязательно существует треугольник разбиения, помеченный цифрами $0$, $1$, $2$.
Доказанная в 1928 году лемма Шпернера давно уже является предметом обсуждения на математических кружках и источником олимпиадных задач. Между тем, она является комбинаторным аналогом теоремы Брауэра о неподвижной точке и у нее большое число приложений. В частности, эта лемма и ее обобщения играют важную роль в теории игр и из нее выводится уравнение равновесия Нэша.
В лекциях будет дано достаточно элементарное изложение постановок задач и доказательств. Я разберу отдельно начальные понятия топологии, которые понадобятся во второй половине курса.
Программа курса
Лемма Шпернера и ее доказательство методом "комнат и дверей". Другие доказательства леммы.
Леммы Таккера, Ки Фана и Ю. А. Шашкина.
Лемма Кнастера–Куратовского–Мазуркевича (ККМ).
Лемма Шпернера для многоугольников и многогранников.
Обобщения леммы Шпернера и степень отображения.
Доказательство М. А. Красносельского теоремы Хелли.
Как используя лемму Шпернера справедливо разрезать торт и справедливо распределить $n$ комнат в квартире между $n$ жильцами?
Непрерывные отображения. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
Теорема Борсука–Улама.
Понятие о применении лемм типа Шпернера в математической экономике и теории игр.
Обратная связь: