О масштабирующих энтропийных последовательностях метрических динамических систем

Классическая энтропийная теория метрических динамических систем основана на изучении действия группы преобразований на измеримых разбиениях стандартного вероятностного пространства. В качестве развития этого подхода Вершик в конце 90-х предложил исследовать метрические инварианты, получаемые при изучении действия на структурно более богатые объекты — функции нескольких переменных. В качестве простейших примеров этих функций было предложено брать метрики (или полуметрики), взаимное расположение сдвигов метрик описывать их усреднением, а в качестве простейших числовых параметров, описывающих эти усреднения, было предложено брать так называемую эпсилон-энтропию. Масштабирующая последовательность характеризует скорость роста эпсилон-энтропий усреднений метрики. Была высказана гипотеза о том, что в широком классе метрик масштабирующая последовательность не зависит от выбора метрики, тем самым являясь характеристикой самой динамической системы. Пусть для некоторой суммируемой сепарабельной метрики скорость роста эпсилон-энтропий слабо зависит от эпсилон. Тогда то же верно для любой такой метрики. Масштабирующая последовательность оказывается одной и той же для всех таких метрик, и, более того, для порождающих полуметрик, тем самым является метрическим инвариантом динамической системы. Похожие инварианты появлялись в работах Катка–Тувено и Ференци 90-х годов. Эти инварианты могут оказаться эффективными в случае, если классическая энтропия системы равна нулю или бесконечности. В докладе планируется обсудить утверждение, подтверждающее гипотезу Вершика, некоторые свойства масштабирующей энтропийной последовательности и привести серию примеров.