Как посчитать детские рисунки? Занятие 4

Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики.
Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. Чтобы получать красивые ответы, рисунки надо считать не просто в штуках, а с весами, обратными количествам симметрий; это не сильно влияет на ответы, поскольку у большинства рисунков нетривиальных симметрий нет.
В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе. В качестве одного из приложений будет рассказано о распределении склеек чётноугольников по родам; будет показано, что все нужные формулы можно извлечь из разложения в ряд функции $\bigl(\frac{1+y}{1-y}\bigr)^x$. В последней лекции будет предпринята попытка рассказать о связях теории детских рисунков с другими разделами математики.
Для понимания основной части курса не надо знать ничего, но надо быть готовыми заниматься довольно трудной математикой. Понимание последней лекции потребует некоторых представлений об арифметической геометрии, топологии и комплексном анализе.