«Мы не можем ждать милостей от природы», или применение метода вынуждения в построении моделей теории множеств. Занятие 2

В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома – это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза.
Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения. Неформально говоря, мы постепенно определяемся, какую модель мы строим, и про некоторые свойства результата доказываем, что никогда не поздно решить их обеспечить. Тогда нетрудно показать, что можно по очереди обеспечить много таких свойств для одной модели. Оказывается, что такой подход является мощным и удобным инструментом в теории множеств.
Довольно трудно что-то успеть доказать с помощью метода вынуждения за четыре занятия; чтобы увеличить свои шансы, я буду предполагать, что и запись математических утверждений с помощью кванторов и формальных связок ($\forall$ $\exists$ $\vee$ $\wedge$ $\to$ $\neg$), и доказательство неравномощности каждого множества с множеством своих подмножеств слушателям знакомы.
Участников, знающих, какие курсы я обычно читаю, надо сразу предупредить: здесь я хочу доказать конкретное утверждение, даже если и с потерями среди аудитории. Я надеюсь, потери будут невелики.