Точные значения $n$-поперечников некоторых классов функций, принадлежащих пространству Харди $H_{q,\rho}$ ($1\le q\le\infty,\, 0<\rho\le1$)

Пусть $H_{q},\, 1\le q\le\infty$ – банахово пространство Харди аналитических в единичном круге $U:=\{z\in\mathbb{C}: |z|<1\}$ функций $f$ с конечной нормой\vspace*{-3mm}
$$ \|f\|_{q}:=\displaystyle\lim_{\rho\to1-0}\left(\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi} |f(\rho e^{it})|^{q}dt\right)^{1/q}.$$

Символом $H_{q,\rho} \ (1\le q\le\infty,$ $0<\rho\le1)$ обозначим пространство Харди аналитических в круге $|z|<\rho$ функций $f,$ для которых $\|f\|_{q,\rho}:=\|f(\rho z)\|_{q}<\infty.$ Через $f_{a}^{(r)},\, r\in\mathbb{N}$ обозначим $r$-ю производную функции $f$ по аргументу $t$ переменного $z=\rho exp(it).$ Под $H_{q,a}^{(r)}$ понимаем класс функций $f\in A(U),$ у которых $f_{a}^{(r)}\subset H_{q}.$ Пусть $\Phi(t),\, t\ge0$ – произвольная непрерывная неотрицательная и неубывающая функция такая, что $\Phi(0)=0.$ Введем в рассмотрение следующий класс аналитических функций \vspace*{-2mm}
\begin{equation*} W_{q,a}^{(r)}(\Phi;\mu):=\left\{f\in{H}_{q,a}^{(r)}: \frac{1}{h}\int\limits_{0}^{h}\omega(f_{a}^{(r)};2t)_{q}\left[1+(\mu^{2}-1)\sin\frac{\pi t}{2h}\right]dt\le\Phi(h)\right\}, \end{equation*}
где $r\in\mathbb{N},\, 1\le q\le\infty,\, h\in(0,\pi]$ и $\mu\in\mathbb{R}_{+} \ (\mu\ge1)$ – произвольное фиксированное число.
Положим $(\sin x)_{*}=\{\sin x, \ \text{если} \ 0\le x\le\pi/2; \ 1, \ \text{если} \ x\ge\pi/2\}.$ Имеет место
\begin{ntheorem} { Если при заданном $\mu\ge1$ и любых $n\in\mathbb{N},\, h\in(0,\pi]$ мажоранта $\Phi(h)$ удовлетворяет условию\vspace{-3mm}
\begin{equation}\label{N314:1} \frac{\Phi(h)}{\Phi(\pi/(2\mu n))}\ge \frac{\pi}{2\mu}\int\limits_{0}^{1}(\sin nht)_{*}\left[1+(\mu^{2}-1)\sin\frac{\pi t}{2}\right]dt, \end{equation}
то при любых $n,r\in\mathbb{N},\, n>r,\, 0<\rho\le1,$ $1\le q\le\infty$ справедливы равенства
\begin{equation*} \lambda_{n}(W_{q,a}^{(r)}(\Phi;\mu);{H}_{q,\rho})=\frac{\pi\rho^{n}}{4\mu n^{r}}\Phi\left(\frac{\pi}{2\mu n}\right), \end{equation*}
где $\lambda_{n}(\cdot)$ – любой из $n$-поперечников: Бернштейна $b_{n}(\cdot),$ Гельфанда $d^{n}(\cdot),$ Колмогорова $d_{n}(\cdot),$ линейного $\delta_{n}(\cdot).$ Множество мажорант, удовлетворяющих условию (\ref{N314:1}), не пусто.} \end{ntheorem}