Представления решений одного класса системы уравнений в полных дифференциалах с сингулярными точками

В некоторых работах [1]–[5] были исследованы различные классы системы линейных и нелинейных уравнений в полных дифференциалах (п.д.-системы) для функций двух и многих независимых переменных, причeм как регулярных, так и с сингулярными точками. В случае тождественного выполнения условия совместности, многообразия их решений изучаемых систем находятся вполне определëнными формулами.
В предлагаемом сообщении рассматривается один тип нелинейных п.д.-систем с сингулярными точками, для которых условия совместности выполняются тождественно и многообразия решений находятся явно.
1. Рассматрим систему уравнений в полных дифференциалах вида:
$$ \frac{\partial{u}}{\partial{\rho}}=\frac{a(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^n}u+\frac{f(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^n}u^m,$$

$$ \frac{\partial{u}}{\partial{\varphi}}=\frac{b(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^{n-1}}u+\frac{g(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^{n-1}}u^m, \tag{1} $$

$$ \frac{\partial{u}}{\partial\Theta}=p(\rho,\varphi,\Theta,u), $$
где $a,b,f,g,p\in{C^1(\bar{D})}$, известные функции, а $u\in{C^2(D_0)}$, $(n\geq{0})$ неизвестная функция. Условий совместности системы (1) имеют вид:
$$ \Bigl[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\frac{b}{\rho^{n-1}})- \frac{\partial}{\partial{\varphi}}(\frac{a}{\rho^{n}})\Bigl]u+\Bigl[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\frac{g}{\rho^{n-1}})- \frac{\partial}{\partial{\varphi}}(\frac{f}{\rho^{n}})+(m-1)\frac{ag-bf}{\rho^{2m-1}}\Bigl]u^m=0, $$

$$ \frac{\partial{p}}{\partial{\rho}}+\frac{au+bu^m}{\rho^m}\frac{\partial{p}}{\partial{u}}=(\frac{a}{\rho^n}+m\frac{f}{\rho^n}u^{m-1})p+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{a}{\rho^n})u+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{f}{\rho^n})u^m, \tag{$N_1$} $$

$$\frac{\partial{p}}{\partial{\varphi}}+\frac{bu+gu^m}{\rho^{n-1}}\frac{\partial{p}}{\partial{u}}=(\frac{b}{\rho^{n-1}}+m\frac{g}{\rho^{n-1}}u^{m-1})p+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{b}{\rho^{n-1}})u+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{g}{\rho^{n-1}})u^m, $$
Допустим, что каждые соотношения из ($N_1$) выполнится, но не тождественно. Если считать, что найденные функций $u=0,\,u=H(\rho,\varphi,\Theta)$ из системы ($N_1$) удовлетворяют системе (1), то они будут только лишь частными, либо особыми решениями системы (1). Для нахождения многообразия решений системы (1) будем требовать тождественного выполнения условию ($N_1$). Допустим, что в системе (1) $a,b,f,g$ считаются некоторыми известными функциями, тогда предыдущее требование возможно тогда и только тогда, когда взаимосвязь между этими функциями можно определить, частично, следующим образом:
$$ b(\rho,\varphi,\Theta)=\Bigl[\frac{\partial}{\partial{\varphi}}A(\rho,\varphi,\Theta)+\alpha(\varphi,\Theta)\Bigl]\rho^{n-1}, A(\rho,\varphi,\Theta)=-\int_\rho^1\frac{a(t,\varphi,\Theta)}{t^n}dt. \tag{2} $$
Производя замену $u^{1-m}=W$, где $W=W(\rho,\varphi,\Theta)$ – новая неизвестная функция, перепишем систему уравнений (1) в следующем виде:
$$ \frac{\partial{W}}{\partial{\rho}}=\alpha(\rho,\varphi,\Theta),\frac{\partial{W}}{\partial{\varphi}}=\beta(\rho,\varphi,\Theta),\frac{\partial{W}}{\partial{\Theta}}=\gamma(\rho,\varphi,\Theta,W), \tag{3} $$

$$ \alpha(\rho,\varphi,\Theta)=(1-m)\cdot\frac{f(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^n}\cdot\exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}, $$

$$ \beta(\rho,\varphi,\Theta)=(1-m)\cdot\frac{g(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^{n-1}}\cdot\exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}, $$
причeм,$\Bigl[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\frac{b}{\rho^{n-1}})\Bigl]= \Bigl[\frac{\partial}{\partial{\varphi}}(\frac{a}{\rho^{n}})\Bigl]$, $\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)=\int_\rho^1\frac{a(t,\varphi,\Theta)}{t^n}dt+\hat{A}(\varphi,\Theta).$ А также, делаем замену:
$$ s_0(\rho,\varphi,\Theta)=(1-m)\int_\rho^1\frac{f(t,\varphi,\Theta)}{t^n}\cdot\exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}dt+A_1(\varphi,\Theta), $$
или
$$ s_0(\rho,\varphi,\Theta)=\int_\rho^1\alpha(t,\varphi,\Theta)dt+\int_0^\varphi\beta(1,\tau,\Theta)d\tau. $$
Поскольку $\frac{\partial\alpha}{\partial\varphi}=\frac{\partial\beta}{\partial\rho}$, преобразуем систему (3) к более простому виду. Условия ($N_1$) для инвариантной системе (3) выполняется тождественно, если функция $\gamma(\rho,\varphi,\Theta)$ принимает вид:
$$ \gamma(\rho,\varphi,\Theta,W)=(m-1)\frac{\partial{s_0}}{\partial{z}}W+(1-m)\exp\{-s_0(\rho,\varphi,\Theta)\}W^{\frac{m}{m-1}}{\times}b(\rho,\varphi,\exp\{s_0(\rho,\varphi,\Theta)\}W^{\frac{1}{1-m}}). $$
В этой формуле переходя к исходной неизвестной функции, имеем:
$$ p(\rho,\varphi,\Theta,u)=\frac{\partial\omega_0}{\partial{\Theta}}u$$

$$ +\frac{1}{1-n} \{\frac{\partial{s_0}}{\partial\Theta}+f[\Theta;exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}u^{1-m} -s_0(\rho,\varphi,\Theta)]\} \times\exp\{(1-m)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}u^m. \tag{4} $$
Интегрируем первую пару уравнений системы (3), и делаем замену
$$ \exp\{(1-m)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}u^m-v_0(\rho,\varphi,\Theta)=\psi, \tag{5} $$
где $\psi=\psi(\Theta)$ - новая неизвестная функция. Далее подставим ее результат в третье уравнение системы (3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение (о.д.у.),
$$ \psi'=f(\Theta,\psi), \tag{6} $$
где функция $f(\Theta,\psi)$ определяется через данные функций из (4). Если о.д.у. (6) имеет решение вида $\psi=\psi(C,\Theta)$, тогда п.д.- система (1) также разрешима, и многообразие еë решений определяется следующей явной формулой:
$$ u(\rho,\varphi,\Theta)=[s_0(\rho,\varphi,\Theta)+\psi(С,\Theta)]^{\frac{1}{1-n}}\cdot\exp\{\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}. \tag{7} $$
Легко заметит, что функция $A(\rho,\varphi,\Theta)$ в точке $\rho=0$ имеет особенность $(n-1)$-го порядка при $n>1$, при этом, функции $\omega_0,\,s_0$ и решение системы (1) в точке $\rho=0$ имеют особенности показательного порядка, а в остальных точках $\rho\neq{0}$ области $\bar{D}$, является однозначным и непрерывным.
Теорема. Пусть в п.д.-системе (1) $a,b,f,g,pin{C^1(\bar{D})}$, $u\in{C^2(\bar{D}_0)}$. Если условия ($N_1$) выполняются, но не тождественно, то возможно система (1) имеет некоторое частное, либо особое решение. Для того, чтобы условия (N1) выполнялись тождественно, необходимо и достаточно, чтобы функции $b(\rho,\varphi,\Theta)$ и $p(\rho,\varphi,\Theta,u)$ соответственно имели вид (2) и (4). Если о.д.у. вида (6) имеет решение, тогда система (1) также разрешима, причëм многообразие еe решений найдëтся явной формулой (7). При этом полученное решение системы (1) при $n\geq{1}$ в точке $\rho=0\in{\bar{D}}$ не ограниченно, имеет особенности показательного порядка, а в других точках области $\bar{D}$ является непрерывной.