О точном значении неопределенной константы в асимптотической формуле для константы Лебега классического оператора Фурье

Оператор Фурье $S_n:C[0,2\pi]\rightarrow H_n^T\subset C[0,2\pi]$ имеет минимальную норму (константу Лебега $\widetilde{\lambda_n}=\widetilde{\lambda}(n)=\|S_n\|$) среди всевозможных линейных проекторов $P_n:B\rightarrow H_n^T\subset B\,\,(n\in N)$, действующих в пространствах $B=C\vee L_p(1\leq p\leq \infty)$ [1, с.191]. Особый интерес представляет поведение величин $\widetilde{\lambda_n}\,\,(n\in N\wedge n\rightarrow +\infty)$ и $O(1)$, входящих в известное асимптотическое равенство
\begin{equation} \label{N227:eq1} \widetilde{\lambda_n}=(4/\pi^2)\ln n+O(1),\,\,n\rightarrow \infty\,\,(O(1)-const), \end{equation}
которое получено, используя ее интегральное представление вида
\begin{equation} \label{N227:eq2} \widetilde{\lambda_n}=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi|D_n(t)|dt=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{|\sin(2n+1)t|}{\sin t}dt \left(D_n(t)=\frac{\sin(n+1/2)t}{2\sin (t/2)}\right). \end{equation}

Свойства оператора Фурье в различных функциональных пространствах, его фундаментальные характеристики подробно изучены А. Лебегом, Л. Фейером, Г. Сеге и другими зарубежными математиками. Существенный вклад в развитие данного направления внесли С. Н. Бернштейн, С. М. Никольский, П. К. Суетин, С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин, С. А. Теляковский, их многочисленные ученики и последователи. Активные исследования в этом направлении ведутся и в настоящее время. Особое внимание обращается получению двусторонних оценок для фундаментальных характеристик, изучению аппроксимативных возможностей частичных сумм Фурье, Фурье-Лежандра, Фурье-Якоби и других ее видов на различных классах функций.
В случае лагранжевой интерполяции по равномерно распределенным на периоде узлам аналоги констант Лебега \eqref{N227:eq1} подробно изучены в работах [2], [3]. Следуя им, в данной работе впервые получено явное (безмодульное) представление для константы \eqref{N227:eq2}, на основе которого затем найдено точное значение $O(1)$ из \eqref{N227:eq1}, решена одна актуальная экстремальная задача. Соответствующие результаты приведены в трех теоремах.
Теорема 1. Для константы \eqref{N227:eq2} верно явное (безмодульное) представление вида
\begin{equation} \label{N227:eq3} \widetilde{\lambda_n}=\frac{2}{\pi}\int_0^T\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}dt+\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^n\int_0^T\left[\frac{\cos(2n+1)t}{\sin(t+t_{2k-1})}+ \frac{\sin(2n+1)t}{\sin(t+t_{2k})}\right]dt. \end{equation}
где $t\in [0,T], t_{2k-1}=\frac{\pi}{4n+2}(2k-1), \,\,t_{2k}=\frac{\pi}{4n+2}2k\,\,(k=\overline{1,n});\,\, T=\frac{\pi}{2(2n+1)}, n\in N.$
Теорема 2. Для вычисления асимптотически точного значения константы $O(1)$ из равенства \eqref{N227:eq1} справедлива формула
$$ O(1)=\frac{4}{\pi^{2}}\ln(\frac{4}{\pi})+\left(1-\frac{2}{\pi}\right)\frac{8}{\pi^{3}}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k}=1.064313253\ldots $$

Теорема 3. Наименьшее значение константы $A$, для которой неравенство $\widetilde{\lambda_n}\leq A+(2/\pi)^2\ln n$ выполняется равномерно относительно любых натуральных значений параметра $n$, равно $1/3+2\sqrt{3}/\pi$, т.е.
$$ \min_{A\in R^+}\{A|\widetilde{\lambda_n}\leq A+(2/\pi)^2\ln n\,\,\forall n\in N\}=1/3+2\sqrt{3}/\pi=1.435991124\ldots $$