The limit spectral graph and eingenvalue asymptotic distribution of the Sturm-Liouville problem with polynomical potential

Исследуется предельное распределение дискретного спектра задачи на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка при большом значении параметра $k\to+\infty$:
$$ -y''(x)+k^2 P(x,\lambda)y(x)=0 $$
с краевыми условиями $y(a)=y(b)=0$.
Здесь $a$ и $b$ вещественные числа (допускаются значения $\pm\infty$), $\lambda$ — обобщенный спектральный параметр, лежащий в некоторой односвязной области $G$ комплексной плоскости; $k$ — положительное число; $P$ — многочлен степени $n\ge1$ от $x$ с коэффициентами аналитически зависящими от спектрального параметра $\lambda\in G$.
$$ P(x,\lambda)=a_n(\lambda)x^n+a_{n-1}(\lambda)x^{n-1}+\cdots +a_1(\lambda)x+a_0(\lambda). $$

Дополнительно потребуем от $P$: старший коэффициент $a_n(\lambda)$ не имеет нулей в $G$; нули $x_j$, $j=1,\dots,n$ многочлена $P$ — разные функции $\lambda$, либо различные ростки одной функции, аналитические в $G$ за исключением конечного числа алгебраических точек ветвления, естественным образом возникающих в кратных нулях $P$.
Для произвольного комплекса Стокса $\Gamma$ назовем точки $a$ и $b$ связанными относительно $\Gamma$, если существует соединяющий их путь, не проходящий через точки поворота этого комплекса, имеющий с $\Gamma$ не более одной общей точки. Комплексы, относительно которых $a$ и $b$ связанны отнесем к I-му типу. Все оставшиеся — ко II-му типу.
Значения $\lambda$, при которых могут возникать многоточечные (двухточечные и более) комплексы Стокса называются сингулярными кривыми:
$$ \lambda\in\gamma_s\Leftrightarrow\mathrm{Re}\int_{x_n(\lambda)}^{x_l(\lambda)}\sqrt{P(z,\lambda)}\,dz=0, $$
где $x_j(\lambda)$ — различные точки поворота.
Значения $\lambda$, при которых одна из точек $a$ или $b$ попадает на линии Стокса называются критическими кривыми:
$$ \lambda\in\gamma_c\Leftrightarrow\mathrm{Re}\int_{x_j(\lambda)}^{a}\sqrt{P(z,\lambda)}\,dz=0,\text{ либо } \mathrm{Re}\int_{x_j(\lambda)}^{b}\sqrt{P(z,\lambda)}\,dz=0. $$

Введем еще так называемые регулярные предельные кривые уравнением:
$$ \lambda\in\gamma_r\Leftrightarrow\mathrm{Re}\int_{a}^{b}\sqrt{P(z,\lambda)}\,dz=0. $$
Theorem. Для любого компакта $g\in G$, не содержащего точек $\gamma_s\cup\gamma_c\cup\gamma_r$ найдется $k_0>0$ такое, что при $k>k_0$ в $g$ не будет содержаться собственных значений. В случае общего положения собственные значения концентрируются вдоль $\gamma_r$ и тех частей $\gamma_s$ и $\gamma_c$, при которых граф Стокса содержит комплексы II-го типа. В этом случае справедливы асимптотики на собственные значения вдоль соответствующих частей кривых при $k\to+\infty$:
\begin{gather*} \frac{k}{\pi}\int_{x_n}^{x_l(\lambda_m)}\sqrt{P(z,\lambda_m)}\,dz=i(m-\frac{1}{2})+O(\frac{1}{k}),\quad\text{в окрестности }\gamma_s; \\ \frac{k}{\pi}\int_{x_n}^{a(b)}\sqrt{P(z,\lambda_m)}\,dz=i(m-\frac{1}{4})+O(\frac{1}{k}),\quad\text{в окрестности }\gamma_c; \\ \frac{k}{\pi}\int_{a}^{b}\sqrt{P(z,\lambda_m)}\,dz=im+O(\frac{1}{k}),\quad\text{в окрестности }\gamma_r; \end{gather*}