Квантование коэффициентов для аффинных фреймов

Говорят, что система $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ элементов банахова пространства $F$ является квантовой $(\varepsilon,\delta,C)$-сетью в $F$ относительно банахова пространства числовых последовательностей $X$, если существуют постоянные $\varepsilon>0$, $\delta>0$ и $C\ge1$ такие, что для любого вектора $f\in F$ найдется конечный набор целых чисел $\{m_k\}_{k=1}^n\subset\mathbb{Z}$ такой, что
$$ \biggl\|f-\sum_{k=1}^nm_k\delta\varphi_k\biggr\|_F<\varepsilon, \qquad \biggl\|\sum_{k=1}^nm_k\delta e_k\biggr\|_X\le C\|f\|_F, $$
где $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ – естественный базис пространства последовательностей $X$. Пусть функция $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ имеет носитель $\mathrm{supp}\,\varphi\subset[0,1]$. Далее, для $n\in\mathbb{N}$ по представлению $n=2^k+j$, где $k=0,1,\dots$ и $j=0,\dots,2^k-1$, положим
$$ \varphi_n(t)=\varphi_{k,j}(t)=\varphi(2^kt-j). $$
Система функций $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ называется аффинной системой функций. Пусть $\varphi\in L^p[0,1]$, $1\le p<\infty$, и $\int_0^1\varphi(t)\,dt\neq0$. Тогда $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ – фрейм в $L^p[0,1]$ относительно $X=\ell^{1,p}$, где
$$ \|x\|_{1,p}=\sum_{k=0}^{\infty}\biggl(\frac{1}{2^k}\sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1}|x_n|^p\biggr)^{1/p}. $$

Теорема. Всякий аффинный фрейм $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ является квантовой сетью в пространстве $L^p[0,1]$ относительно пространства последовательностей $\ell^{1,p}$.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 13-01-00102.