О весовых пространствах Соболева на полуоси

Пусть $1<p<\infty$ и $ \|f\|_p:=\bigl(\int_0^\infty|f(x)|^p\,\mathrm{d}x\bigr)^{1/p}. $ Обозначим через $\mathring{AC}$ множество всех абсолютно непрерывных функций с компактными носителями в $(0,\infty)$ и определим весовое пространство Соболева $\mathring{W}_{p}^1\equiv \mathring{W}_{p}^1(v_0,v_1)$ как замыкание $\mathring{AC}$ по норме
$$ \|f\|_{\mathring{W}_{p}^1}:=\|fv_0\|_p+\|f' v_1\|_p, $$
где $v_0$ и $v_1$ — измеримые на $(0,\infty)$ весовые функции такие, что $0<v_0(x),v_1(x)<\infty$ для п.в. $x\in (0,\infty)$ и $v_0,v_1\in L_\mathrm{loc}^p$, $1/v_1\in L_\mathrm{loc}^{p'}$, где $p':=\frac{p}{p-1}$. Для простоты полагаем, что $\mathring{W}_{p}^1={W}_{p}^1.$ Тогда существуют функции $a(x)$ и $b(x)$ такие, что $a(x)<x<b(x)$ и для всех $x\in (0,\infty)$
$$ \int_{a(x)}^xv_1^{-p'}=\int_x^{b(x)}v_1^{-p'}\qquad\textrm{и}\qquad V_1(x)^{1/p'} \biggl(\int_{a(x)}^{b(x)}v_0^p\biggr)^{1/p}=1,\tag{*}$$
где $V_1(x):=\int_{a(x)}^{b(x)}v_1^{-p'}.$ В работе рассматривается пространство $(\mathring{W}_{p}^1)'$, ассоциативное к $\mathring{W}_{p}^1$, т.е. состоящее из локально интегрируемых на $(0,\infty)$ функций $g$, удовлетворяющих условию
$$ J(g):=\sup_{0\not=f\in\mathring{W}_{p}^1}\frac{\Bigl|\int_0^\infty f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\Bigr|}{\|f\|_{\mathring{W}_{p}^1}}<\infty. $$

Теорема. Пусть $1<p<\infty$, $g\in L_{\rm loc}(0,\infty)$ и $v_0$, $v_1$ удовлетворяют условию (*). Тогда $ J(g)\approx \mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g)$, где
\begin{gather*} \mathbb{G}(g):= \biggl(\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)}\int_{a(x)}^tv_1^{-p'} (y)\,\mathrm{d}y\ \mathrm{d}x \biggr|^{p'}\,\mathrm{d}t\biggr)^{1/p'},\\ \mathcal{G}(g):= \biggl(\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\,V_1^{p'}(t)\, \biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)} \,\mathrm{d}x\biggr|^{p'}\,\mathrm{d}t\biggr)^{1/p'}. \end{gather*}
Здесь $a^{-1}$ и $b^{-1}$ обозначают функции, обратные к $a$ и $b$.
Утверждение теоремы существенно усиливает соответствующие результаты работ [1], [2].