$M$-членные тригонометрические приближения анизотропных классов Никольского–Бесова периодических функций многих переменных

В докладе представляются результаты о наилучших $M$-членных тригонометрических приближениях, а также о наилучших $M$-членных ортогональных тригонометрических приближениях и $M$-членных гриди-приближениях анизотропных классов $B^{\mathbf{R}}_{p,\theta}$ периодических функций многих переменных.
Пусть $L_q$, $1\leq q\leq\infty$, — пространство Лебега $2\pi$-периодических по каждой переменной функций $f(\mathbf{x})=f(x_1,\dots,x_d)$ со стандартной нормой $\|\cdot\|_q$. $B^{\mathbf{R}}_{p,\theta}$, $\mathbf{R}=(R_1,\dots,R_d)>\mathbf{0}$, $1\leq p,\theta\leq\infty$, – анизотропные классы Никольского–Бесова (определение см., например, в [1]) периодических функций многих переменных, $g(\mathbf{R})=(\sum_{n=1}^d 1/R_n)^{-1}$.
Величина $\sigma_M(B^{\mathbf{R}}_{p,\theta})_q$ наилучшего $M$-членного тригонометрического приближения классов $B^{\mathbf{R}}_{p,\theta}$ в метрике $L_q$ определяется следующим образом
$$ \sigma_M(B^{\mathbf{R}}_{p,\theta})_q = \sup_{f\in B^{\mathbf{R}}_{p,\theta}} \inf\limits_{\Theta_M} \inf\limits_{P(\Theta_M;\cdot)} \|f(\cdot)-P(\Theta_M;\cdot)\|_q , $$
где $P(\Theta_M;\mathbf{x})= \sum\limits_{j=1}^M c_{\mathbf{k^j}} e^{i(\mathbf{k^j},\mathbf{x})}$, $\Theta_M=\{\mathbf{k^j}\}_{j=1}^M$ — система векторов $\mathbf{k^j}=(k^j_1,\dots,k^j_d)$ с целочисленными координатами, $c_{\mathbf{k^j}}$ – произвольные коэффициенты.
Сформулируем некоторые из полученных результатов.
Теорема. Пусть $1\leq\theta\leq \infty$, $1\leq p<q<\infty$, $q>2$.
Если $g(\mathbf{R})>\max\{\frac{1}{p};\frac{1}{2}\}$, то
$$ \sigma_M(B^{\mathbf{R}}_{p,\theta})_q \asymp M^{-g(\mathbf{R})+(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})_{+}} , $$
где $a_{+}= \max\{a; 0\}$.
Если $p\leq 2$, $g(\mathbf{R})=\frac{1}{p}$, то
$$ \sigma_M(B^{\mathbf{R}}_{p,\theta})_q \asymp M^{-\frac{1}{2}} (\log_2 M)^{1-\frac{1}{\theta}} . $$

Если $p\leq 2$, $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}<g(\mathbf{R})<\frac{1}{p}$, то
$$ \sigma_M(B^{\mathbf{R}}_{p,\theta})_q \asymp M^{-\frac{q}{2}(g(\mathbf{R})-\frac{1}{p}+\frac{1}{q})} . $$