$L_p$-отклонения числовых последовательностей в задачах численного интегрирования

Понятие “отклонение” дает количественную меру отклонения распределения числовой последовательности от некоторого идеального распределения. Оно широко используется в теории равномерного распределения последовательностей и ее приложениях. В частности, качество аппроксимации интеграла Римана
\begin{equation*} \int\limits_0^1\,f(x)dx \end{equation*}
средними арифметическими
\begin{equation*} \frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k)\qquad(x_k\in[\,0,1\,]) \end{equation*}
непосредственно связано с отклонением последовательности $\{x_k\}$ “узлов”.
Пусть $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ — конечная последовательность действительных чисел такая, что $0\le x_1<x_2<\ldots<x_n<1$; $A([\,0,x\,);X)$ — так называемый счетчик, по определению равный количеству членов $x_k$ последовательности $X$, для которых $x_k\in[\,0,x\,)$ $(0<x\le1)$. Положим
\begin{equation*} \Delta(x)=\Delta(x;X)=\frac1nA([\,0,x\,);X)-x\quad(0<x\le1),\Delta(0)=0. \end{equation*}

Величину
\begin{equation*} D_p(X)=\|\Delta(x)\|_p=\left(\int\limits_0^1|\Delta(x)|^pdx\right)^\frac1p,\qquad0<p\le\infty, \end{equation*}
принято рассматривать как количественную характеристику равномерности распределения последовательности $X$ на отрезке $[\,0,1\,]$ и называть $L_p$-отклонением заданной последовательности ([1], гл.2, §1). Значение $D(X):=D_\infty(X)$ наиболее употребительно в качестве характеристики последовательности $X$ и называется просто отклонением или экстремальным отклонением. В задачах численного интегрирования могут представлять интерес $L_p$-отклонения при конечных $p$. Покажем это на примере следующего результата Г. Нидеррейтера [2] (см. также [1], гл.2, §5): пусть $f$ — непрерывная на $[\,0,1\,]$ функция, $\omega(f;\delta)$ — ее равномерный модуль непрерывности, $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$, $0\le x_1<x_2<\ldots<x_n<1$. Тогда
\begin{equation} \left|\frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k)-\int\limits_0^1f(x)dx\right|\le\omega(f;D(X)).\label{N355:1} \end{equation}

Доказывается, что в этом неравенстве $D(X)$ $(=D_\infty(X))$ можно заменить на $D_1(X)$, если модуль $\omega(f;\delta)$ является выпуклым.