Аппроксимации краевых задач, решения которых допускают явление взрыва

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения как уравнение
$$ {\mathbf A}u=f,\tag{1} $$

$$ f\in X,\quad u\in Y,\quad {\mathbf A}\in B(Y,X) $$
где $X$, $Y$ – банаховы пространства, а $B(Y,X)$ – некоторое топологическое пространство операторов, действующих из области определения $D({\mathbf A})\subset Y$ в пространство $X$, наделенное топологией $\tau _B$. Задача Коши (1) определяет многозначное отображение $ G\colon X\times B(Y,X)\to 2^Y, $ заданное на множестве $X\times B(Y,X)$ и принимающее значение во множестве $2^Y$ всех подмножеств пространства $Y$, определяемое формулой $ G(f,{\mathbf A})= {\mathbf A}^{-1}(f) $.
Пусть $\tau _H$ – топология на множестве $2^Y$, порожденная псевдометрикой Хаусдорфа $r_H$, заданной на множестве $2^Y$ равенствами $r_H(A,B)=\max \{ \sup_{x\in A}\rho _Y(x,B), \sup_{x\in B}\rho _Y(x,A)\}$ если $A,B\neq\varnothing $; $ r_H(A,\varnothing )=r_H(\varnothing ,A)=+\infty $, если $A\neq \varnothing$; $\ r_H (\varnothing ,\varnothing )=0$.
{\it Будем говорить, что задача Коши $(1)$ проявляет свойство взрыва, если точка $(f,{\mathbf A})$ является точкой разрыва отображения $G$. Будем говорить, что задача Коши $(1)$ проявляет свойство взрыва вдоль топологического пространства краевых задач Коши $S\subset X\times B(Y,X)$ если точка $(f,{\mathbf A})$ является точкой разрыва отображения $G|_S\colon S\to 2^Y$.}
Приведены примеры краевых задач, (не) допускающих явление взвыва, показывающие, что явления bluw up, неединственности решения или их сочетания являются примерами явления взрыва в смысле определения (1). Наделение пространства задач борелевской мерой позволяет расширить определение решения исходной задачи до случайной величины со значениями в пространстве решений исходной задачи.
Случайной полугруппой будем называть измеримое отображение $\xi $ некоторого пространства с мерой в линейное топологическое пространство $C_s(R_+,B(Y))$ сильно непрерывных отображений полуоси $R_+$, значениями которого являются однопараметрические полугруппы. Математическим ожиданием случайной полугруппы $\xi $ назовем операторнозначную функцию $R_+\to B(Y)$, определяемую интегралом Петтиса:
$$ {\mathbf F} _{\mu }(t)={\mathbf M}[\xi ](t)=\int_{E}\xi _{\epsilon }(t)d\mu ,\ t\geq 0. $$
Математическое ожидание случайной полугруппы может не быть полугруппой, тем не менее
Теорема 1. Пусть операторнозначная функция ${\mathbf F}\colon[0,+\infty)\to B(X)$ непрерывна в сильной операторной топологии, удовлетворяет условиям ${\mathbf F}(0)={\mathbf I}$ и $\| {\mathbf F}(t)\|_{B(X)}\leq e^{at}$, $t\in (0,\delta )$ при некоторых $a\in R$ и $\delta >0$. Тогда если последовательность ${\mathbf G}_n$ операторнозначных функций ${\mathbf G}_n(t)=({\mathbf F}({t\over n}))^n$, $n\in {\mathbf N}$, $t\in [0,+\infty)$, сходится в сильной операторной топологии равномерно на каждом отрезке $[0,T]$, $T>0$, то предельная операторнозначная функция является сильно непрерывной однопараметрической полугруппой операторов в пространстве $X$ типа $\omega \leq a$.
Теорема 2. Пусть $\{ {\mathbf L}_{\epsilon },\ \epsilon \in E\}$ – операторнозначная функция на множестве $E$, на $\sigma $-алгебре подмножеств $2^E$ которого задана вероятностная мера $\mu $, значениями которой являются генераторы сильно непрерывных сжимающих полугрупп в банаховом пространстве $X$. Пусть существует подпространство $D\subset X$, являющееся существенной областью определения операторов ${\mathbf L}_{\epsilon }$, $\epsilon \in E$, такое, что для любого $x\in D$ интеграл $\int_{E}\|{\mathbf L}_{\epsilon }x\|\,d\mu $ сходится. Тогда если определенный на пространстве $D$ равенством ${\mathbf S}x=\int_{E}{\mathbf L}_{\epsilon }x\,d\mu $ оператор $\mathbf S $ замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы, то $({\mathbf F}({t\over n}))^n\to e^{t{\mathbf S}}$, $t\in R_+$, равномерно на любом отрезке, где ${\mathbf F}(t)= \int_{E}e^{t{{\mathbf L}_{\epsilon }}}\,d\mu $, $t\geq 0$.