|
|
Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 16:40–17:05, Дифференциальные уравнения. I, г. Москва, МИАН
|
|
|
|
|
|
Система Дирака с негладким потенциалом
А. М. Савчук, А. А. Шкаликов Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 310 | Материалы: | 59 |
|
Аннотация:
Мы изучаем оператор Дирака $L_P$, порожденный в пространстве $H=L_2[0,\pi]\oplus L_2[0,\pi]\ni\mathbf y$ дифференциальным выражением
\begin{gather*}
\ell_P(\mathbf y)=B\mathbf y'+P\mathbf y,\quad \text{где}\\
B = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i
\end{pmatrix},
\qquad
P(x) = \begin{pmatrix} p_1(x) & p_2(x) \\ p_3(x) & p_4(x)
\end{pmatrix},
\qquad
\mathbf y(x)=\begin{pmatrix}y_1(x)\\ y_2(x)\end{pmatrix}.\notag
\end{gather*}
Функции $p_j$, $j=1,2,3,4$, предполагаются суммируемыми на отрезке $[0,\pi]$ и комплекснозначными. Краевые условия имеют вид
\begin{equation*}
U(\mathbf y)=C\mathbf y(0)+D\mathbf y(\pi)=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\ u_{21} &
u_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(0)\\
y_2(0)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{13} & u_{14}\\ u_{23} &
u_{24}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(\pi)\\
y_2(\pi)\end{pmatrix}.
\end{equation*}
При этом строки матрицы
$$
\mathcal U:=(C,\,D)=\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}&u_{14}\\
u_{21}&u_{22}&u_{23}&u_{24}\end{pmatrix}
$$
мы считаем
линейно независимыми. Оператор $L_{P,U}$, порожденный дифференциальным выражением $\ell_P$ и такими краевыми условиями является регулярным по Биркгофу, если
определители матриц
$$
\begin{pmatrix}u_{11} & u_{14}\\ u_{21} & u_{24}\end{pmatrix},\qquad
\begin{pmatrix}u_{12} & u_{13}\\ u_{22} & u_{23}\end{pmatrix}
$$
отличны от нуля.
Основными результатами являются теоремы об асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций таких операторов и теорема о базисности Рисса системы
собственных и присоединенных функций (в случае, когда краевые условия не являются сильно регулярными, имеет место базисность Рисса из двумерных подпространств). При
этом остаточные члены в асимптотических формула зависят от пространства, в котором лежит потенциал. Мы рассмотрим случаи $P\in L_\nu[0,\pi]$, $\nu\in[1,2]$, и случай
пространств Бесова $P\in B^\theta_{1,\infty}[0,\pi]$, $\theta\in(0,1)$. Доклад основан на результатах работы [1].
Дополнительные материалы:
abstract.pdf (116.4 Kb)
Список литературы
-
A. M. Savchuk, A. A. Shkalikov, “Dirac operator with complex-valued summable potential”, Math. Notes, 96:5-6 (2014), 777–810
|
|