Критерий Никольского–Зингера и наилучшая сходимость рядов по системам $\varphi(nx)$

С помощью критерия наилучшего приближения в $L_{p}$ (С. М. Никольский – $p=1$, И. Зингер – $p>1$) установлены следующие факты.
Утверждение. Если
а) $\varphi(x)=T_{m_0,\,1}(x)\sin m_0 x$, где $T_{m_0,\,1}(x)=\sum\limits^{m_0-1}_{m=0}a_m\cos m x>0$, а $n_1=1$, $2<n_{k+1}:n_k=q_k\in\mathbb N$, то при $\left\{A_k\right\}\in l_1$ ряд
$$ \sum_{k\geq 1}\;A_k\,\varphi(n_k x)\tag{*} $$
наилучше сходится во всех $L_{p}(0,\,2\pi)$, $1\leq p\leq\infty$;
б) $\varphi(x)=T_{m_0,\,2}(x)\cos (2p_0+1)x$, где $T_{m_0,\,2}(x)=\sum\limits_{0\leq 2m<m_0}a_m\cos 2m x>0$, а $n_1=1$, $n_{k+1}:n_k=2p_k+1\in\mathbb N$, то при $\left\{A_k\right\}\in l_1$ ряд (*) наилучше сходится во всех $L_{p}(0,\,2\pi)$, $1\leq p\leq\infty$.
Утверждение. Ряд
$$ \sum_{k\geq 1}A_k\,\varphi(r^{k-1}x),\quad \left\{A_k\right\}\in l_1, $$
где
$$ \varphi(x)=\sum_{t\geq 1}a_t\cos\left(s^{t-1}x\right),\quad \left\{a_t\right\}\in l_1, $$
при любых взаимно простых $r, s$ больших единицы наилучше сходится во всех $L_{2m}(0,\,2\pi)$, $m\in\mathbb N$, и в $L_{\infty}=C$.
Похожие утверждения имеют место и при $\varphi(x)$, являющихся многочленами и рядами Уолша–Пэли, а также для некоторых $\varphi$, определенных на конечном множестве.