Оценки оператора сумм Римана для классов функций определяемых $k$-ми модулями непрерывности на «массивных» множествах

Пусть $I$ — отрезок [0,1] с обычной мерой Лебега и $X$ симметричное пространство функций на $I$. Пусть $I=[0;1]$, $f\colon I\to R$ периодическая функция с периодом 1. Рассмотрим оператор сумм Римана $R_n f(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x+\frac{k}{n})$, $x\in I$.
Через $\psi(X,t)=\left\|\chi(D)|X\right\|$, где $t=\mu(D)$ обозначим фундаментальную функцию $X$. Для каждой $f\colon I\to R$ определим $k$-модуль непрерывности $\omega_{k}(f,\delta;X)=\sup_{0 < h \leq \delta}\left\|\Delta_{h}^{k}(f,\cdot)| X \right\|$, где $\Delta_h^k(f;t)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}C_{k}^{i}f(t+ih)$. Через $U$ обозначим множество квазивогнутых функций $\varphi\colon I\to R_+$, т.е. функций, которые не убывают и для которых $t^{-1}\varphi(t)$ не возрастает и $\lim_{t\to 0}\varphi(t)=0$. Через $U(k)$, $k=2,3,\dots$, обозначим множество функций $\varphi\colon[0,1]\to R_+,$ состоящее из функций, которые не убывают, но для которых отношение $\varphi(t)/t^k$ не возрастает. Пусть $\varphi\in U(k)$. Через $H_X^{\varphi,k}$ обозначим пространство функций, норма в котором задаëтся равенством $\left\|f|H_X^{\varphi,k}\right\|=\left\|f|X\right\|+\sup_{h>0,h\in I}\frac{\omega_k(f,h;X)}{\varphi(h)}$.
Теорема 1. Зафиксируем натуральное число $k$ и функцию $\varphi$ типа k-го модуля непрерывности. Пусть $f\in H_X^{\varphi,k}$. Пусть $\psi$ — фундаментальная функция пространства $X$. Зафиксируем $m\in N$ и $\epsilon>0$ такое, что $m$ взаимнопросто с числами $2,3,\dots,k$. Выберем последовательности $\delta_i\downarrow 0$ и $\epsilon_i \downarrow 0$ так, чтобы выполнялись условия $\sum \epsilon_i<\epsilon$, $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\omega_k(f,\delta_i;X)}{\psi(X;\epsilon_i)}<\infty$ и построим функцию
$$ \Omega_{\epsilon}(f,h,X)=\inf_q\left\{h^k\sum\limits_{i=1}^{q}\frac{\omega_k(f,\delta_{i+1},X)}{\delta_{i+1}^k\psi(X,\epsilon_i)}+\sum\limits_{i=q+1}^{\infty}\frac{\omega_k(f,\delta_i,X)}{\psi(X,\epsilon_i)} \right\}. $$
Тогда если $\psi$ — строго возрастающая функция, то для любых $n\in N$ и $\epsilon>0$ существует множество $W$, $\mu(W)<\epsilon$, такое, что для каждого $x\in I\setminus W$ выполняется
$$ \left|R_{n}f(x)-R_{nm}f(x)\right|\leq c\Omega_{\epsilon}(f,\frac{1}{n},X), $$
где константа $c$ не зависит от $ f, n, m, \epsilon, x$.
Доказательство теоремы в существенном базируется на конструкциях из [1].