О некоторых задачах теории приближения функций на бесконечномерном торе

Пусть $G$ — компактная абелева группа (если не оговорено противное, то операцию в $G$ будем задавать аддитивно), $dx$ — мера Хаара на группе $G$. При $1\le p<{\infty}$ пусть $L_p(G)$ — лебегово пространство, состоящее из всех комплекснозначных функций $f(x)$. для которых конечна норма
$$ \|f\|_p:=\biggl( \int_G |f(x)|^p\, dx\biggr)^{1/p} $$
(функции рассматриваются с точностью до значений на множестве меры 0). При $p={\infty}$ будем считать, что нормированное пространство $L_{\infty}(G)=C(G)$ состоит из всех непрерывных комплекснозначных функций на $G$ и снабжается равномерной нормой
$$ \|f\|_C=\|f\|_{\infty}:=\sup_{x\in G} |f(x)|. $$

Характером группы $G$ называется любая непрерывная комплекснозначная функция $\xi(x)$ на группе $G$, удовлетворяющая условиям:
1) $\xi(x+y) = \xi(x) \xi(y) \quad \forall\, x,y\in G$;
2) $|\xi(x)|=1 \quad \forall x\in G$.
Обозначим через $\widehat G$ множество всех характеров группы $G$. Множество $\widehat G$ является полной ортогональной системой в гильбертовом пространстве $L_2(G)$. Характеры служат основой для построения гармонического анализа на группе $G$ (см., например, [1]). Линейные комбинации характеров могут использоваться в качестве средства приближения функций на группе $G$ и на их основе можно изучать аналоги классических задач теории приближения.
Будем считать, что одномерный тор совпадает с фактор-группой ${\mathbb T}={\mathbb R}/ 2\pi{\mathbb Z}$. Элемент $x+ 2\pi{\mathbb Z}\in{\mathbb T}$, $x\in{\mathbb R}$, будем обозначать через $\bar x$, при этом число $x$ будем называть представителем элемента $\bar x$. В частности, $\bar 0$ — нулевой элемент группы ${\mathbb T}$.
Пусть ${\mathbb T}^{\infty}$ — прямое произведение счетного числа групп ${\mathbb T}$. Элементами группы ${\mathbb T}^{\infty}$ являются последовательности ${\mathbf x}=\{ \bar x_k\}_{k=1}^{\infty}$, где $\bar x_k\in{\mathbb T}$. Снабженная тихоновской топологией группа ${\mathbb T}^\infty$ является компактной топологической группой.
Пусть $d{\mathbf x}$ — элемент группы Хаара на группе ${\mathbb T}^{\infty}$, нормированной условием $\int_G 1\, d{\mathbf x}=1$. Банаховы пространства $L_p({\mathbb T}^{\infty})$, $1\le p<{\infty}$, и $L_{\infty}({\mathbb T}^{\infty})=C({\mathbb T}^{\infty})$ являются частным случаем пространств $L_p(G)$ и $L_{\infty}(G)$, определенных выше.
Опишем характеры группы ${\mathbb T}^{\infty}$. Пусть ${\mathbb Z}^{\infty}$ — множество всех целочисленных последовательностей. Элементы из ${\mathbb Z}^{\infty}$ имеют вид ${\mathbf n}=\{ n_k\}_{k=1}^{\infty}$, $n_k\in{\mathbb Z}$. Через ${\mathbb Z}^{(\infty)}$ обозначим подмножество в ${\mathbb Z}^{\infty}$, состоящее из всех финитных последовательностей, т. е. таких последовательностей ${\mathbf n}$ для которых $n_k=0$ при достаточно больших $k$.
Характеры группы ${\mathbb T}^{\infty}$ задаются формулами
$$ \chi_{\mathbf n}({\mathbf x})=\exp\biggl(I\biggl(\sum_{k=1}^{\infty} n_k x_k\biggr)\biggr), $$
где $i=\sqrt{-1}$, ${\mathbf n} =\{n_k\}\in {\mathbb Z}^{(\infty)}$, ${\mathbf x}=\{\bar x_k\}\in {\mathbb T}^{\infty}$.
Обозначим через ${\mathcal P}({\mathbf T}^\infty)$ комплексную линейную оболочку функций $\chi_{\mathbf n}({\mathbf x})$ при ${\mathbf n}\in {\mathbb Z}^{(\infty)}$. Функции из ${\mathcal P}({\mathbf T}^\infty)$ (будем называть их тригонометрическими полиномами на группе ${\mathbb T}^{\infty}$) будут служить средством приближения для функций из нормированных пространств $L_p({\mathbb T}^{\infty})$. Из теоремы Стоуна–Вейерштрасса вытекает, что ${\mathcal P}({\mathbb T}^{\infty})$ является всюду плотным подмножеством в $L_p({\mathbb T}^{\infty})$.
Для $\bar s\in{\mathbb T}$ пусть
$$ |\bar s|_{{\mathbb T}}:=\min_{m\in{\mathbb Z}} |s- 2\pi m|. $$
Если ${\mathbf x}=\{\bar x_k\}\in {\mathbb T}^{\infty}$, то полагаем
$$ |{\mathbf x}|:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} |\bar x_k|_{\mathbb T}. $$
Отображение ${\mathbf x} \mapsto |{\mathbf x}|$ задает квазинорму на группе ${\mathbb T}^{\infty}$, т.е. выполняются условия:
1) $|{\mathbf x}|=0$ тогда и только тогда, когда ${\mathbf x}=0$;
2) $ |-{\mathbf x}|= |{\mathbf x}|$; 3) $|{\mathbf x}+{\mathbf y}|\le |{\mathbf x}| +|{\mathbf y}|$ для любых ${\mathbf x}, {\mathbf y}\in{\mathbb T}^{\infty}$.
Для любой функции $f({\mathbf x})$ на группе ${\mathbb T}^{\infty}$ и для любого ${\mathbf h}\in{\mathbb T}^{\infty}$ пусть
$$ (\tau_{{\mathbf h}}f)({\mathbf x}):=f({\mathbf x}-{\mathbf h}). $$
Оператор $\tau_{{\mathbf h}}$ называется оператором сдвига.
Для любой функции $f\in L_p({\mathbb T}^{\infty})$ конечная разность $\Delta_{{\mathbf h}}f$ с шагом ${\mathbf h}\in{\mathbb T}^{\infty}$ и модуль непрерывности $\omega(f; \delta)_p$ определяются формулами
\begin{gather*} \Delta_{{\mathbf h}} f:=f-\tau_{{\mathbf h}}f; \\ \omega(f; \delta)_p:=\sup\{ \|\Delta_{{\mathbf h}} f\|_p : {\mathbf h}\in {\mathbb T}^{\infty},\ |{\mathbf h}|<\delta\}, \end{gather*}
где $\delta>0$ — произвольное число.
Для любого натурального числа $N$ обозначим через ${\mathcal P}^*_N({\mathbb T}^\infty)$ линейную оболочку всех характеров $\chi_{\mathbf n}$, ${\mathbf n}=\{ n_k\}\in {\mathbb Z}^{(\infty)}$, которые удовлетворяют условиям $|n_k|\le N/2^k$, $k=1,2,3,\dots$ . Линейное подпространство ${\mathcal P}^*_N({\mathbb T}^\infty)$ конечномерное, так как $n_k=0$ при $k> \log_2 N+1$.
Для любой функции $f\in L_p({\mathbb T}^{\infty})$ пусть
$$ E^*_N(f)_p:=\sup\{ \| f- \Phi\|_p : \Phi\in{\mathcal P}^*_N({\mathbb T}^\infty)\} $$
— наилучшее приближение функции $f$ функциями из ${\mathcal P}^*_N({\mathbb T}^\infty)$.
Следующая теорема является аналогом теоремы Джексона классической теории приближений функций (см., например, [2]).
Теорема. Если $f\in L_p({\mathbb T}^{\infty})$, $1\le p\le{\infty}$, то для любого $N=1,2,3,\dots$ справедливо неравенство
$$ E^*_N(f)_p\le C\, (\log_2N+1)\,\omega\biggl(f; \frac1N\biggr)_p, $$
где $C$ — некоторая постоянная.
Другие аналоги теорем Джексона на бесконечномерном торе см. в [3].