О разложениях по многочленам, ортогональным в непрерывно-дискретных пространствах Соболева

В докладе будут изложены результаты о рядах Фурье по многочленам, ортогональным в непрерывно-дискретных пространствах Соболева $S$ (и их частного случая – нагруженных пространствах), которые определяются с помощью скалярного произведения
\begin{gather*} f,g=\int^b_a f\left(x\right)g\left(x\right)w\left(x\right)dx+A_1f\left(1\right)g\left(1\right)+B_1f\left(-1\right)g\left(-1\right)+A_2f'\left(1\right)g'\left(1\right)+B_2f'\left(-1\right)g'\left(-1\right) \\ \left(A_1\ge 0,B_1\ge 0,A_2\ge 0,B_2\ge 0\right), \end{gather*}
$w(x)$ – весовая функция. Задача изучения этих пространств была поставлена в классической монографии P. Куранта и Д. Гильберта «Методы математической физики». Пространства $S$ возникают в ряде проблем функциональ-ного анализа, теории функций, математической физики и вычислительной математики. Например, при исследовании краевых задач с параметром в граничных условиях.
В теоретической физике они возникают при исследо вании оператора Шредингера с точечными потенциалами (потенциалами нулевого радиуса, дельта-потенциалами).
В прикладных задачах пространства $S$ применяются при исследовании процессов с сосредоточенными нагрузками и сосредоточенными моментами. Например, в задачах о колебании нагруженных стержней и о распространении тепла в неоднородном стержне, на конце которого помещена сосредоточенная теплоемкость.
В непрерывно-дискретныx пространствах Соболева вводятся системы ортогональных многочленов. Следует отметить, что ряд свойств этих многочленов существенно отличаются от соответствующих свойств классических ортогональных многочленов.
В докладе будут изложены результаты о поведении частных сумм и линейных методах суммирования рядов Фурье по многочленам, ортонормирован-ным в пространствах Соболева, в частности, для методов Чезаро и Пуассона-Абеля. Основную роль в доказательстве играют полученные представления ядер Фейера, Пуассона и Валле-Пуссена.Общие результаты демонстрируются на симметричных ортогональных многочленах Гегенбауэра-Соболева и нагруженных многочленах Якоби.