Спектр банаховой пары

Введение. При анализе оптимальных интерполяционных теорем в весовых пространствах $L_p$ функций, измеримых на пространствах с произвольными мерами, обнаружилось, что оптимальные интерполяционные теоремы, полученные для пространств функций на $\mathbb{R}^n$ с мерой Лебега не переносятся прямо на случаи, когда в образах и прообразах рассматриваются разные пространства с мерой. Простейший крайний случай – это две пары пространств $L_p$, где одна пара рассматривается на дискретном пространстве, а другая на непрерывном пространстве с мерой. Если в первом случае рассматривается пара пространств последовательностей, а во втором пространства функций на отрезке с мерой Лебега, то пространства в парах вложены противоположно, и в силу этого оптимальные интерполяционные теоремы становятся тривиальными. В данной работе показано, что для решения вопроса об оптимальных интерполяционных теоремах в общем случае требуется привлечь новое понятие спектра банаховой пары. Сравнение спектров различных пар позволяет понять причины значительного улучшения, возникающего в оптимальных интерполяционных теоремах. В частности, если говорить об интерполяции в шкалах пространств, то легко увидеть сдвиги по шкале в сторону улучшения оценок. В дальнейшем мы будем придерживаться определений и обозначений, следуя [1].
1. Определение спектра банаховой пары. Пусть $\overline{X}=\{X_0,X_1\}$ банахова пара, $s,t>0$. Напомним, что $K$-функционалом $x\in X_0+X_1$ называется
$$ K(s,t,x, \overline{X} )=\inf\limits_{
\begin{array}{c} {x=x_0+x_1,}\\ {x_0\in X_0,x_1\in X_1} \end{array}
} s\|x_0\|_{X_0}+t\|x_1\|_{X_1}. $$

Определение. Собственным вектором пары $ \overline{X}$ будем называть такой элемент $e\in X_0\cap X_1$, что
$$ K(\|e\|_{X_0},\|e\|_{X_1},e, \overline{X} )=1. $$

Нетрудно проверить, что на собственных векторах единичные сферы пространств $X_0$ и $X_1$ имеют параллельные касательные гиперплоскости. Кроме того
$$ K(s,t,e, \overline{X} )=\min(s/\|e\|_{X_0},t/\|e\|_{X_1}). $$

Если $e$ – это собственный вектор пары, то элемент одномерного проективного пространства $\mathbb{RP}^1$, порождëнный парой чисел $( \|e\|_{X_0},\|e\|_{X_1})$, будем называть собственным числом пары $ \overline{X} $.
Если пара пространств $ \overline{X} $ порождена самосопряженным оператором $A$ в некотором гильбертовом пространстве $H$, то есть $X_0=H$, а $X_1$ – это пополнение $D(A)$ по норме $\|A(x)\|_H$, то собственные вектора этой пары совпадают с собственными векторами оператора $A$. В частности, отсюда следует, что многие гильбертовы пары не будут иметь собственных векторов и собственных чисел.
Поэтому более естественным в теории интерполяции линейных операторов ввести менее жестокий аналог собственного вектора и собственного числа.
Определение. Вектор $e\in X_0\cap X_1$ будем называть псевдо-собственным вектором, если для некоторой константы $C<1$ справедливо
$$ C\min(s/ \|e\|_{X_0},t/\|e\|_{X_1})\le K(s,t,e, \overline{X} )\le\min(s/ \|e\|_{X_0},t/\|e\|_{X_1}). $$
Соответствующая точка $( \|e\|_{X_0},\|e\|_{X_1})\in \mathbb{RP}^1 $ будет называться псевдо-собственным числом. Множество всех псевдо-собственных чисел псевдо-собственных векторов с фиксированной константой $C$ будем обозначать $\sigma_C( \overline{X} )$ и называть $C$-спектром пары.
Обозначим через $K( \overline{X} )$ множество всех функций вида $K(s,t,x, \overline{X} )$, где $x$ пробегает все множество $(X_0+X_1)^o$, равное замыканию $X_0\cap X_1$ в $X_0+X_1$.
Пусть $S$ подмножество $ \mathbb{RP}^1 $, порождëнное некоторым подмножеством пар чисел $(A,B)$, где $A,B>0$.
Определение. Множество $S$ будем называть спектральным множеством пары $ \overline{X} $, если каждая функция из $K( \overline{X} )$ эквивалентна некоторой функции вида
$$ \sup_{A,B>0,\ (A,B)\in E\subset S}\min(s/A,t/B) $$
для некоторого $E\subset S$.
Теорема. Существует такая константа $C$, что $\sigma_C( \overline{X} )$ является спектральным множеством любой пары $ \overline{X} $.
Эта теорема позволяет определить спектр пары как любое спектральное множество пары $ \overline{X} $ состоящее из псевдо-собственных чисел этой пары при некотором фиксированном $C<1$.
2. Интерполяционные теоремы. Положительная функция $\varphi(s,t)$ двух положительных переменных называется интерполяционной функцией, если она возрастает по $s$ и $t$, и однородна первой степени.
Пусть $S$ спектральное множество некоторой пары. Через $\varphi_S(s,t)$ мы будем обозначать интерполяционную функцию, которая является наименьшим расширением сужения $\varphi$ на подмножество, порождающее $S\subset \mathbb{RP}^1$.
Через $ \overline{X}_{ \varphi,q }$ обозначим обобщëнное пространство Лоренца, где $1\le q\le\infty$. В терминах обобщенной конструкции Лионса–Петре $ \overline{X}_{ \varphi,q }=\varphi(X_0,X_1)_{q,q}$ (см. [2]). Пусть $\sigma( \overline{X} )$ спектральное подмножество пары $ \overline{X}$.
Теорема. Пусть $ \overline{X}$ произвольная банахова пара, $\varphi$ невырожденная интерполяционная функция. Тогда
$$ \overline{X}_{ \varphi,q }= \overline{X}_{ \varphi_{ \sigma( \overline{X} ) },q } $$
при любом $1\le q\le\infty$.
Отсюда следует, что если линейный ограниченный оператор $T$ действует из пары $\overline{X}$ в пару $ \overline{Y} $, то
$$ T\colon\overline{X}_{ \varphi_{ \sigma( \overline{X} ) },q }\to \overline{Y}_{ \varphi_{ \sigma( \overline{Y} ) },q }. $$

Если спектральные множества пар $ \overline{X}$ и $ \overline{Y} $ существенно отличаются, то приходим к нетипичным интерполяционным теоремам. Напомним, что если $\varphi$ степенная функция $s^{1-\theta}t^{\theta}$, то $\overline{X}_{ \varphi,q }= \overline{X} _{\theta,q}$. Используя теорему 2 нетрудно построить такие вложенные пары $X_0\subset X_1$ и $Y_0\subset Y_1$, что из $T\colon\overline{X}\to \overline{Y}$ следует, например, что $T\colon\overline{X}_{1/2,q}\to \overline{X}_{1/3,q}$.