О проблеме мультипликаторов тригонометрических рядов Фурье

Пусть $1<p\leq q<\infty$, $f\in L_p({\mathbb T}^n)$, $f\approx\sum_{k\in {\mathbb Z}^n}\hat{f}(k)e^{ikx}$. Последовательность комплексных чисел $\lambda=\{\lambda_k\}_{k\in{\mathbb Z}^n}$ назовем мультипликатором из $L_p({\mathbb T}^n)$ в $L_q({\mathbb T}^n)$ $(\lambda\in m(L_p\rightarrow L_q))$, если найдется $f_{\lambda}\in L_q({\mathbb T}^n)$ с рядом Фурье $f_{\lambda}\approx\sum\limits_{k\in {\mathbb Z}^n}\lambda_k \hat{f}(k)e^{ikx}$ для которых верно неравенство
$$ \|f_\lambda\|_{L_q}\leq c\|f\|_{L_p}. $$

Особый интерес представляет мультипликаторы вида $\lambda=\{\lambda_k\}_{k\in{\mathbb Z}}$, где каждое $\lambda_k$ принимает значение 1 или 0. Здесь важным является неравенство М. Рисса-Никольского. Для параллелепипеда $Q$ из ${\mathbb Z}^n$ верно неравенство
\begin{equation}\label{N357:1} \biggl\|\sum\limits_{k\in Q}\hat{f}(k)e^{ikx}\biggr\|_{L_q}\leq c_{p,q} |Q|^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_{L_p}\, \text{при } r\leq p\leq q\leq\infty. \end{equation}

В докладе мы приводим некоторые результаты, связанные с неравенствами (1), а также верхние и нижние оценки норм для классов мультипликаторов $m(L_p\to L_q)$.